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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 09.01.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Untersuche das uneigentliche Integral auf Konvergenz.
[mm] \int_{1}^{e} \bruch{dx}{xln(x)} [/mm] |
Hallo,
Ich habe eine Frage bzgl der Aufgabe.
Die Lösung habe ich, aber ich verstehe einige Sachen nicht.
Lösung: Es gilt 1/(xln(x)) = [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{ln(x)} [/mm] also ein Ausdruck der Form [mm] \bruch{f´}{f}. [/mm] Damit kann direkt Die Stammfunktion angegeben werden.
Die Stammfunktion lautet: ln(ln(x)).
Die Grenze x = e ist unproblematisch, da ln(1) = 0 ist, aber die untere Grenze liefert [mm] \limes_{x \to 1} [/mm] ln(ln(x)) = - unendlich. Also konvergiert das Integral nicht.
PS oben beim Bruch steht f´ / f irgendwie hat es nicht geklappt.
Soo Ich verstehe nicht wieso man direkt eine Stammfunktion angeben kann? mit der Substitutionsregel habe ich das selbe zwar raus, aber würde gerne wissen wie man es so schnell und direkt sehen könnte?
Kann mir da jmd helfen?
LG
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Hallo!
Der Trick besteht in der Kettenregel beim Ableiten, "inner mal äußere":
Die Ableitung von f(g(x)) ist
$(f(g(x)))'=g'(x)*f'(g(x))_$
Wenn du also irgendwo [mm] $\int [/mm] g'(x)*f'(g(x))$ erkennst, kannst du direkt die Stammfunktion f(g(x)) angeben.
Beispiel:
[mm] $\int 2x*\sin(x^2)\,dx$
[/mm]
Die innere Funktion g ist [mm] x^2, [/mm] deren Ableitung ist 2x. Die Ableitung der äußeren Funktion f' ist der Sinus, deren Stammfunktion f ist Cosinus:
[mm] $\int 2x*\sin(x^2)\,dx=-\cos(x^2)$
[/mm]
bei deiner Aufgabe ist die innere Funktion [mm] \ln(x) [/mm] mit Ableitung [mm] \frac{1}{x} [/mm] , und die Ableitung der äußeren Funktion [mm] \frac{1}{\Box} [/mm] , die Stammfunktion der äußeren also [mm] \ln(\Box)
[/mm]
Ein Trick, das zu erkenen ist, den Term in zwei Faktoren zu zerlegen. Und zwar so, daß die Stammfunktion des einen Faktors im anderen auftaucht. Aber generell gilt: Genau hingucken, und üben!
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Hallo, ich habe genau die selbe Aufgabe. Ich verstehe diesen Satz nicht.
"Die Grenze x = e ist unproblematisch, da ln(1) = 0 ist, aber die untere Grenze liefert $ [mm] \limes_{x \to 1} [/mm] $ ln(ln(x)) = - unendlich. Also konvergiert das Integral nicht."
Ich muss doch die obere Grenze und die untere Grenze einsetzen.
Aber jetzt in welches? ln(ln(x)) ?
Die Grenze x=e ist unproblematisch da ln(1)= 0 ist. aber wo hat er das eingesetzt?
bin gerade bisschen verwirrt -.-
LG
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Hallo,
> Hallo, ich habe genau die selbe Aufgabe. Ich verstehe
> diesen Satz nicht.
>
> "Die Grenze x = e ist unproblematisch, da ln(1) = 0 ist,
> aber die untere Grenze liefert [mm]\limes_{x \to 1}[/mm] ln(ln(x)) =
> - unendlich. Also konvergiert das Integral nicht."
>
> Ich muss doch die obere Grenze und die untere Grenze
> einsetzen.
> Aber jetzt in welches? ln(ln(x)) ?
Sorry, aber deine Frage ist so schlampig gestellt, dass man nicht verstehen kann, was du eigentlich wissen möchtest. Ein bestimmtes Integral berechnet man für gewöhnlich, indem man die Grenzen in die Stammfunktion einsetzt, das sollte klar sein?
Die hier verwendete Stammfunktion ist
F(x)=ln(ln(x))
Soweit auch klar?
Die Grenzen sind 1 und e, ist dir das klar?
ln(ln(e))=ln(1)=0
Auch das klar oder nicht?
[mm] ln(ln(1))=ln(0)=-\infty
[/mm]
also keine reelle Zahl, ist dir dies klar oder nicht?
Existiert also das Integral oder nicht, das ist jetzt die Preisfrage.
>
> Die Grenze x=e ist unproblematisch da ln(1)= 0 ist. aber wo
> hat er das eingesetzt?
>
> bin gerade bisschen verwirrt -.-
Für eine vernünftigere Antwort würde ich dich um eine vernünftigere Problembeschreibung bitten.
Gruß, Diophant
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ahh ok danke.
Ja tut mir leid dass ich das so schlampig hingeschrieben hab, aber war bisschen confused. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Do 09.01.2014 | | Autor: | capri |
ok danke habe es verstanden :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Fr 10.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Schau mal da rein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Ableitung
FRED
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