stetige V-funktion, P({x_0})=0 < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
Ich bereite mich zur Zeit auf eine Klausur in Wahrscheinlichkeitstheorie
vor. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestossen.
Sei P ein W-Mass auf [mm]B[/mm] (der Borelschen [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] B^1) [/mm] mit der Verteilungsfunktion [mm] F_P.
[/mm]
Man zeige fuer [mm]x_0 \in \IR [/mm]
[mm] F_P[/mm] stetig in [mm] x_0 \gdw P({x_0}) [/mm] = 0
Das soll bedeuten, dass eine Verteilungsfunktion auf [mm] \IR [/mm] genau dann
stetig ist, wenn kein Punkt aus [mm] \IR [/mm] eine positive Wahrscheinlichkeit hat.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Aufgabe besonders schwierig ist,
im Gegenteil. Ich habe mir die Musterloesung angeschaut und obwohl ich sie mehr oder weniger nachvollziehen kann, befriedigt sie mich nicht.
Hingegen haette ich gerne eine anschauliche Bedeutung des genannten Satzes.Ich bin mir sicher man kann das auch schoener erklaeren fuer jemanden, der sich nicht so lange mit Wahrscheinlichkeitstheorie beschaeftigt.
Ich poste mal die Musterloesung.
*******
Nach Definition der Verteilungsfunktion ist fuer [mm] \delta [/mm] > 0
[mm] F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] - [mm] F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] = [mm] P([x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta]) [/mm] (i)
Ist [mm] F_P [/mm] stetig, so gilt
[mm] lim_\delta_\rightarrow_0 F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] - [mm] F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] = [mm] P({x_0})
[/mm]
Umgekehrte Richtung
Sei nun [mm] P({x_0}) [/mm] = 0
Da P stetig von oben ist, folgt aus (i)
[mm] lim_\delta_\rightarrow_0 F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] - [mm] F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta) [/mm] = 0 (ii)
Wegen der Monotonie von [mm] F_P [/mm] gilt
[mm] F_P(x_0 [/mm] - [mm] \delta) \le F_P(x_0) \le F_P(x_0 [/mm] + [mm] \delta)
[/mm]
womit zusammen mit (ii) die Stetigkeit von F in [mm] x_0 [/mm] folgt.
Meine Frage ist also, ob man die Loesung bildlich beschreiben kann.
Falls etwas unklar ist bei meiner Formulierung, werde ich versuchen, mich besser auszudruecken.
Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo margarita!
> Hi!
> Ich bereite mich zur Zeit auf eine Klausur in
> Wahrscheinlichkeitstheorie
> vor. Dabei bin ich auf folgende Aufgabe gestossen.
>
> Sei P ein W-Mass auf [mm]B[/mm] (der Borelschen [mm]\sigma[/mm] - Algebra
> [mm]B^1)[/mm] mit der Verteilungsfunktion [mm]F_P.[/mm]
> Man zeige fuer [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> [mm]F_P[/mm] stetig in [mm]x_0 \gdw P({x_0})[/mm]
> = 0
>
> Das soll bedeuten, dass eine Verteilungsfunktion auf [mm]\IR[/mm]
> genau dann
> stetig ist, wenn kein Punkt aus [mm]\IR[/mm] eine positive
> Wahrscheinlichkeit hat.
>
> Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Aufgabe besonders
> schwierig ist,
> im Gegenteil. Ich habe mir die Musterloesung angeschaut
> und obwohl ich sie mehr oder weniger nachvollziehen kann,
> befriedigt sie mich nicht.
> Hingegen haette ich gerne eine anschauliche Bedeutung des
> genannten Satzes.Ich bin mir sicher man kann das auch
> schoener erklaeren fuer jemanden, der sich nicht so lange
> mit Wahrscheinlichkeitstheorie beschaeftigt.
> Ich poste mal die Musterloesung.
> *******
> Nach Definition der Verteilungsfunktion ist fuer [mm]\delta[/mm] >
> 0
> [mm]F_P(x_0[/mm] + [mm]\delta)[/mm] - [mm]F_P(x_0[/mm] + [mm]\delta)[/mm] = [mm]P([x_0[/mm] - [mm]\delta, x_0[/mm]
> + [mm]\delta])[/mm] (i)
>
> Ist [mm]F_P[/mm] stetig, so gilt
> [mm]lim_\delta_\rightarrow_0 F_P(x_0[/mm] + [mm]\delta)[/mm] - [mm]F_P(x_0[/mm] +
> [mm]\delta)[/mm] = [mm]P({x_0})[/mm]
Moment. Das gilt doch immer, wegen der Stetigkeit $P$s von oben! Wegen der Stetigkeit von [mm] $F_P$ [/mm] ist der Ausdruck links gleich 0.
> Umgekehrte Richtung
> Sei nun [mm]P({x_0})[/mm] = 0
> Da P stetig von oben ist, folgt aus (i)
> [mm]lim_\delta_\rightarrow_0 F_P(x_0[/mm] + [mm]\delta)[/mm] - [mm]F_P(x_0[/mm] +
> [mm]\delta)[/mm] = 0 (ii)
>
> Wegen der Monotonie von [mm]F_P[/mm] gilt
> [mm]F_P(x_0[/mm] - [mm]\delta) \le F_P(x_0) \le F_P(x_0[/mm] + [mm]\delta)[/mm]
> womit zusammen mit (ii) die Stetigkeit von F in [mm]x_0[/mm]
> folgt.
>
> Meine Frage ist also, ob man die Loesung bildlich
> beschreiben kann.
Verteilungsfunktionen sind rechtsseitig stetig und monoton steigend. Das heisst: Wenn eine Verteilungsfunktion in [mm] $x_0$ [/mm] unstetig ist, dann muss sie in [mm] $x_0$ [/mm] einen Sprung nach oben machen.
Als Beispiel mal die Verteilungsfunktion $F(x) = 0$ fuer $x < 0$, $F(x) = 1$ fuer $x [mm] \ge [/mm] 0$. Wenn man sich von links auf $0$ zubewegt, ist die Verteilungsfunktion immer $0$: D.h. sie nimmt negative Werte mit Wahrscheinlichkeit 0 an. Fuer [mm] $x_0 [/mm] = 0$ ist jedoch ploetzlich [mm] $F(x_0) [/mm] = 1$, die Funktion macht also einen Sprung. Das bedeutet hier, das die Verteilung im Punkt 0 einen Massepunkt besitzt, also dass [mm] $P(x_0) [/mm] > 0$ ist.
Wenn eine Verteilungsfunktion also einen Sprung in [mm] $x_0$ [/mm] macht, so muss [mm] $P(x_0) [/mm] > 0$ sein: [mm] $P(\left]-\infty, x_0\right[) [/mm] = [mm] \lim_{x \to x_0-} [/mm] F(x)$ hat eine echt kleine Wahrscheinlichkeit als [mm] $F(x_0) [/mm] = [mm] P(\left]-\infty, x_0\right])$.
[/mm]
Und andersherum, wenn [mm] $P(x_0) [/mm] > 0$ ist, dann gibt es mit dem gleichen Argument eine Sprungstelle...
Ich hoff mal das war jetzt verstaendlich... Ist immer schwer sowas schriftlich zu erklaeren...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:47 Di 15.08.2006 | | Autor: | margarita |
Hi felix!
Alles klar, vielen Dank!
Liebe Gruesse, margarita
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Di 15.08.2006 | | Autor: | DirkG |
> Verteilungsfunktionen sind rechtsseitig stetig
Ich möchte nur erwähnen, dass das natürlich nur für die Definition [mm] $F_X(t)=P(X\leq [/mm] t)$ der Verteilungsfunktion zutrifft, die heutzutage dominierende Sichtweise.
Man trifft aber auch desöfteren in der Literatur auf die andere Variante [mm] $F_X(t)=P(X
Also immer genau auf den Kontext achten...
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