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Forum "Statistik/Hypothesentests" - ß-Fehler Werkstücke
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ß-Fehler Werkstücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Do 27.01.2022
Autor: hase-hh

Aufgabe
Ein Hersteller von Maschinen, mit denen man Werkstücke fertigen kann, ist der Meinung, dass - nach der letzten Verbesserung der Maschinen - der Ausschussanteil höchstens 3% beträgt.

Es werden hundert Werkstücke geprüft. Das Signifikanzniveau [mm] \alpha [/mm] soll 5% betragen.

a) Bestimmen Sie den Annahme- und Verwerfungsbereich.


b) Wie groß ist der ß-Fehler, wenn der Ausschussanteil tatsächlich 4% [5%, 6%] beträgt.


Moin Moin!

zu a)

Zunächst würde ich hier die Nullhypothese - aus Sicht des Herstellers - mit dem Ziel diese abzulehnen, so formulieren:  

[mm] H_0: [/mm]  p > 0,03              ---     [mm] H_1: [/mm]  p [mm] \le [/mm] 0,03

Es handelt sich also bei [mm] H_0 [/mm] um eine linksseitige Hypothese bzw. es geht um einen linksseitigen Hypothesentest.

Der Annahmebereich ergibt sich aus [mm] [\mu [/mm] - [mm] z*\sigma [/mm] ; n]

mit  n = 100   [mm] \mu [/mm] = 3   [mm] \sigma [/mm] = 1,71   z = 1,64

Ferner ist X die Anzahl der Ausschuss-Stücke in der Stichprobe.


[ 3 - 1,64*1,71 ; 100]

[0,2 ; 100]  

[1; 100]


zu b)

Einen Fehler 2. Art kann ich nur begehen, wenn ich im Annahmebereich der Hypothese lande, und die tatsächlich geltende Wahrscheinlichkeit kenne.


[mm] P_{0,04} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
[mm] P_{0,04} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,0169
[mm] P_{0,04} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 0,9831

[mm] P_{0,05} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
[mm] P_{0,05} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,0059
[mm] P_{0,05} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 0,9941

[mm] P_{0,06} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
[mm] P_{0,06} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,0021
[mm] P_{0,06} [/mm] = P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 0,9979  


Ist das so richtig?

Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je weiter [mm] p_1 [/mm] von [mm] p_0 [/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt sein???


Danke für eure Hilfe!








        
Bezug
ß-Fehler Werkstücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Do 27.01.2022
Autor: statler

Hallo!

> Ein Hersteller von Maschinen, mit denen man Werkstücke
> fertigen kann, ist der Meinung, dass - nach der letzten
> Verbesserung der Maschinen - der Ausschussanteil höchstens
> 3% beträgt.
>
> Es werden hundert Werkstücke geprüft. Das
> Signifikanzniveau [mm]\alpha[/mm] soll 5% betragen.
>  
> a) Bestimmen Sie den Annahme- und Verwerfungsbereich.
>  
>
> b) Wie groß ist der ß-Fehler, wenn der Ausschussanteil
> tatsächlich 4% [5%, 6%] beträgt.
>  Moin Moin!
>  
> zu a)
>
> Zunächst würde ich hier die Nullhypothese - aus Sicht des
> Herstellers - so formulieren, mit dem Ziel diese
> abzulehnen.
>
> [mm]H_0:[/mm]  p > 0,03              ---     [mm]H_1:[/mm]  p [mm]\le[/mm] 0,03
>  
> Es handelt sich also bei [mm]H_0[/mm] um eine linksseitige
> Hypothese.
>
> Der Annahmebereich ergibt sich aus [mm][\mu[/mm] - [mm]z*\sigma[/mm] ; n]
>
> mit  n = 100   [mm]\mu[/mm] = 3   [mm]\sigma[/mm] = 1,71   z = 1,64
>
> Ferner ist X die Anzahl der Ausschuss-Stücke in der
> Stichprobe.
>
>
> [ 3 - 1,64*1,71 ; 100]
>
> [0,2 ; 100]  
>
> [1; 100]

Die Lösung stimmt zwar, aber wegen [mm] $\sigma [/mm] < 3$ sollte man einen anderen Rechenweg zur Bestimmung wählen.

> zu b)
>  
> Einen Fehler 2. Art kann ich nur begehen, wenn ich im
> Annahmebereich der Hypothese lande, und die tatsächlich
> geltende Wahrscheinlichkeit kenne.
>
>
> [mm]P_{0,04}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
>  [mm]P_{0,04}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - 0,0169
>  [mm]P_{0,04}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 0,9831
>  
> [mm]P_{0,05}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
>  [mm]P_{0,05}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - 0,0059
>  [mm]P_{0,05}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 0,9941
>  
> [mm]P_{0,06}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - P(X = 0)
>  [mm]P_{0,06}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 1 - 0,0021
>  [mm]P_{0,06}[/mm] = P(X [mm]\ge[/mm] 1) = 0,9979  
>
>
> Ist das so richtig?
>
> Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je
> weiter [mm]p_1[/mm] von [mm]p_0[/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt
> sein???

Das hängt nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch von der Entfernungsrichtung. Für p = 0,02 nimmt der ß-Fehler ab.

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
ß-Fehler Werkstücke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Sa 29.01.2022
Autor: hase-hh

Moin!

gut, mir ist durchaus bewusst, dass man für eine gute Näherung eine Standardabweichung [mm] \sigma \ge [/mm] 3 braucht.

> Die Lösung stimmt zwar, aber wegen [mm]\sigma < 3[/mm] sollte man
> einen anderen Rechenweg zur Bestimmung wählen.

Welchen?

   :

> > Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je
> > weiter [mm]p_1[/mm] von [mm]p_0[/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt sein???  
> Das hängt nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch
> von der Entfernungsrichtung. Für p = 0,02 nimmt der
> ß-Fehler ab.

Wie kann man das allgemeiner formulieren?  

1. Fall  [mm] H_0: p_0 [/mm] > 0,03.
Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03 ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß zu. Und wenn p < 0,03 ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß ab.

2. Fall wäre [mm] H_0: p_0 [/mm] < 0,03.
Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03 ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß ab. Und wenn p < 0,03 ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß zu.

Kann man das so sagen?


Danke & Gruß








Bezug
                        
Bezug
ß-Fehler Werkstücke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Sa 29.01.2022
Autor: statler

Hi!
>  
> gut, mir ist durchaus bewusst, dass man für eine gute
> Näherung eine Standardabweichung [mm]\sigma \ge[/mm] 3 braucht.
>
> > Die Lösung stimmt zwar, aber wegen [mm]\sigma < 3[/mm] sollte man
> > einen anderen Rechenweg zur Bestimmung wählen.
>  
> Welchen?

Da ich ja näherungsweise weiß, wo ich suchen muß, also hier am linken Ende der Verteilung, würde ich mit dem TR eine verkürzte Tabelle der Verteilung erstellen. Da 3 der Erwartungswert ist, reichen auf jeden Fall die Werte von 0 bis 3. Aus meiner Sicht ist das ein rechnerisches (und exaktes) Verfahren, allerdings nicht handschriftlich, was wegen der Binomialkoeffizienten und der großen Exponenten auch schwierig wäre.

> > > Was ich nicht verstehe ist, dass der ß-Fehler zunimmt, je
> > > weiter [mm]p_1[/mm] von [mm]p_0[/mm] entfernt ist. Das müßte doch umgekehrt
> sein???  
> > Das hängt nicht nur von der Entfernung ab, sondern auch
> > von der Entfernungsrichtung. Für p = 0,02 nimmt der
> > ß-Fehler ab.
>  
> Wie kann man das allgemeiner formulieren?  
>
> 1. Fall  [mm]H_0: p_0[/mm] > 0,03.
>  Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03

> ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß zu. Und wenn p < 0,03
> ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß ab.

In meiner ersten Antwort war ich etwas schludrig, pardon. Einen ß-Fehler machst du, wenn du ein falsches [mm] $H_{0}$ [/mm] annimmst. Aber wenn dein wahres p > 0,03 ist, ist [mm] $H_{0}$ [/mm] wahr und du kannst keinen ß-Fehler machen.

Zur Bestimmung des ß-Fehlers brauchst du nur die p < 0,03 zu untersuchen. Nur sie können zu einem ß-Fehler führen. Und bei p = 0 ist die Wahrscheinlichkeit für einen ß-Fehler auch 0.

>  
> 2. Fall wäre [mm]H_0: p_0[/mm] < 0,03.
>  Wenn nun die tatsächliche Wahrscheinlichkeit p > 0,03

> ist, nimmt mit zunehmendem p auch ß ab. Und wenn p < 0,03
> ist, nimmt mit abnehmendem p auch ß zu.

Analog zu oben. Vielleicht solltest du ja so herum testen, also aus Kundensicht, dann hätten diese Zusatzfragen mehr Sinn.

Jetzt ist das hoffentlich klarer.
Gruß Dieter

Bezug
                                
Bezug
ß-Fehler Werkstücke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Sa 29.01.2022
Autor: hase-hh

Ja, super! Das war mein Gedankenfehler.

Einen Fehler 2. Art kann man nur machen, wenn [mm] H_0 [/mm] falsch ist.

Vielen Dank!!


[ Übrigens ein rechtsseitiger Test führt auch hinsichtlich des Fehlers 2. Art zu plausiblen Ergebnissen. :) ]

Bezug
        
Bezug
ß-Fehler Werkstücke: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:23 Do 27.01.2022
Autor: HJKweseleit

gelöscht

Bezug
                
Bezug
ß-Fehler Werkstücke: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 29.01.2022
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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