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sinh cosh Identitäten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Sa 06.08.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Funktionen sinh, und cosh stetig sind und beweisen Sie für $x,y [mm] \in \IR [/mm] $ die Identitäten:

1. $cosh(x+y) = coshx coshy + sinhx sinhy$
2. $sinh(x+y) = cosh x sinh y + sinhxcoshy$
3. [mm] $cosh^{2}x [/mm] = [mm] sinh^{2}x [/mm] + 1 $

Hallo,


Es ist: $sinh:= [mm] \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ [/mm] und $coshx:= [mm] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] $

Die Stetigkeit folgt daraus, dass es Kompositionen von stetigen Funktionen sind und damit selber wieder stetig.

1. $cosh(x+y)= [mm] \frac{e^{x+y}+e^{-x-y}}{2} [/mm] = [mm] \frac{e^{y}e^{x}+e^{-x}e^{-y}}{2}= (\frac{e^{x+y}+e^{x-y} + e^{-x+y} + e^{x-y}}{4})+ (\frac{e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}}{4}) [/mm] = [mm] (\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}) [/mm] + [mm] (\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}) [/mm] = coshxcoshy + sinhxsinhy$


2. $sinh(x+y)= [mm] \frac{e^{x+y}-e^{-x-y}}{2}= (\frac{e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}) [/mm] + [mm] (\frac{e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}}{4}) =(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{y}-e^{-y}}{2})+(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}) [/mm] = coshxsinhy + sinhx coshy$

3. [mm] $cosh(x)^{2} [/mm] = [mm] \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \frac{e^{2x}+e^{0}+e^{0}+e^{-2x}}{4}= \frac{e^{2x}-e^{0}-e^{0}+e^{-2x}+4}{4}= (\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{x}-e^{-x}}{2})+1 [/mm] = [mm] sinh^{2}+1 [/mm] $


Ist das so in Ordnung insgesamt??





Bin für jegliche Hilfestellung dankbar!



Gruss
kushkush

        
Bezug
sinh cosh Identitäten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 So 07.08.2011
Autor: Kroni

Hi,

ich hab zwar jetzt nicht alles nachgerechnet, aber ich gehe davon aus, dass du es richtig gerechnet hast.

Der Ansatz schaut auf jeden Fall gut aus, so haette ich es auch beweisen wollen.

LG

Kroni


Bezug
                
Bezug
sinh cosh Identitäten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:50 So 07.08.2011
Autor: kushkush

Hallo Kroni,


> so ich auch

OK.



> LG

Danke!



Gruss
kushkush

Bezug
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