lineare Abbildung, Linearform < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 23.07.2008 | | Autor: | natea |
Hallo,
ich habe ein Verständnisproblem bezüglich den Begriffen "lineare Abbildung" und "Linearform".
Also, ich schreibe mal hin, was ich darüber weiß bzw. was meine Fragen dazu sind. Vielleicht kann mir dann jemand sagen, ob das, was ich weiß auch so richtig ist bzw. meine Fragen beantworten.
Zum Begriff der lineare Abbildung:
Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W (V, W sind K-Vektorräume), wobei folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
1) Additivität f(v + v') = f(v) + f(v')
2) Homogenität f( k * v) = k * f(v)
für alle v, [mm] v'\inV [/mm] und für alle [mm] k\in [/mm] K
Es heißt nun, dass durch diese beiden Regeln die Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) von V auf W übertragen werden. Diese Aussage verstehe ich nicht ganz bzw. ich kann mir nicht so richtig etwas darunter vorstellen. Was bedeutet diese Ausssage konkret für den entstehenden Vektorraum W?
So, nun zum Begriff der Linearform:
Ich bin mir nicht sicher, ob eine Linearform im Prinzip ein anderer Ausdruck für eine lineare Abbildung ist. Laut Skript ist eine Linearform eine lineare Abbildung von V in K. Sie ordnet also jedem Vektor V ein Körperelement f(v) zu, so dass wieder die oben beschriebenen Bedingungen der Additivität und der Homogenität erfüllt sind. Was ich aber auch nicht verstehe ist, das bei einer Linearform einem Vektor ein Körperelement zugeordnet wird, wo doch einen lineare Abbildung eine Abbildung von V nach W ist. Müßte das nicht bedeuten, dass einem Vektor wieder ein anderer Vektor zugeordnet wird.
Vielleicht kann mir jemand helfen und ein wenig Licht in mein Dunkel bringen!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe ein Verständnisproblem bezüglich den Begriffen
> "lineare Abbildung" und "Linearform".
>
> Also, ich schreibe mal hin, was ich darüber weiß bzw. was
> meine Fragen dazu sind. Vielleicht kann mir dann jemand
> sagen, ob das, was ich weiß auch so richtig ist bzw. meine
> Fragen beantworten.
>
> Zum Begriff der lineare Abbildung:
>
> Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung f: V [mm]\to[/mm] W (V, W
> sind K-Vektorräume), wobei folgende Bedingungen erfüllt
> sein müssen:
>
> 1) Additivität f(v + v') = f(v) + f(v')
> 2) Homogenität f( k * v) = k * f(v)
> für alle v, [mm]v'\inV[/mm] und für alle [mm]k\in[/mm] K
>
> Es heißt nun, dass durch diese beiden Regeln die
> Operationen (Addition und Skalarmultiplikation) von V auf W
> übertragen werden. Diese Aussage verstehe ich nicht ganz
> bzw. ich kann mir nicht so richtig etwas darunter
> vorstellen. Was bedeutet diese Ausssage konkret für den
> entstehenden Vektorraum W?
>
> So, nun zum Begriff der Linearform:
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob eine Linearform im Prinzip ein
> anderer Ausdruck für eine lineare Abbildung ist.
Nicht im Sinne eines Synonyms, aber Linearformen sind spezielle lineare Abbildungen.
> Laut Skript ist eine Linearform eine lineare Abbildung von V in
> K.
Dabei wird der Skalarenkörper als eindimensionaler Vektorraum (über sich selbst) aufgefasst.
> Sie ordnet also jedem Vektor V ein Körperelement f(v)
> zu, so dass wieder die oben beschriebenen Bedingungen der
> Additivität und der Homogenität erfüllt sind. Was ich aber
> auch nicht verstehe ist, das bei einer Linearform einem
> Vektor ein Körperelement zugeordnet wird, wo doch einen
> lineare Abbildung eine Abbildung von V nach W ist. Müßte
> das nicht bedeuten, dass einem Vektor wieder ein anderer
> Vektor zugeordnet wird.
Eben: Es wurde im Skript einfach etwas knapp formuliert. Eine Linearform ist eine lineare Abbildung eines Vektorraums $V$ in seinen Skalarenkörper, wobei der Skalarenkörper als 1-dim Vektorraum über sich selbst aufgefasst wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Mi 23.07.2008 | | Autor: | natea |
ok, danke! Das hat mir schonmal weitergeholfen!
Viele Grüße!
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