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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Di 02.01.2007 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine konvergente Folge in [mm] \IK, [/mm] a:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] und [mm] x_{n}:= \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{a_{1} + ... + a_{n}}{n}.
[/mm]
Dann ist auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a.
Geben sie dafür einen [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] n_{0} [/mm] - Beweis. |
Hallo,
ich habe für diese Aufgabe zwar die Lösung, kann diese aber irgendwie nicht so nachvollziehen. Könnte mir jemand die einzelnen Schritte vielleicht erklären?
Erstmal gehts los mit:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig.
Dann existiert ein [mm] n_{1} \in \IN [/mm] derart, dass [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle n > [mm] n_{1}.
[/mm]
Die erste Frage wäre warum [mm] n_{1} [/mm] und nicht [mm] n_{0}? [/mm]
Zu diesem [mm] n_{1} [/mm] wiederum existiert ein [mm] n_{2} [/mm] derart, dass [mm] \bruch{a_{1}-a + ... + a_{n_{1}}-a}{n} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] für alle n > [mm] n_{2}.
[/mm]
Die nächste Frage, wo kommt das [mm] a_{n_{1}} [/mm] in [mm] \bruch{a_{1}-a + ... + a_{n_{1}}-a}{n} [/mm] her?
Sei [mm] n_{0} [/mm] := max { [mm] n_{1}, n_{2} [/mm] }. Dann gilt für alle [mm] n>n_{0}:
[/mm]
[mm] |x_{n} [/mm] - a| = [mm] |\bruch{a_{1} + ... + a_{n}}{n} [/mm] - a| = [mm] |\bruch{a_{1}-a + a_{2}-a + ... + a_{n}-a}{n}| [/mm]
[mm] \le \bruch{|a_{1}-a| + ... + |a_{n{1}}-a|}{n} [/mm] + [mm] \bruch{|a_{n_{1}+1}-a| + ... + |a_{n}-a|}{n} \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n-n_{1}}{n} \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wie kommt man auf den Schritt zwischen den beiden [mm] \le [/mm] ?
Danke für die Hilfe
lg lene
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 02.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
ein schönes thema:
also... zu dem N1: Dieses N1 wird benutzt um einen teil deiner reihe, nämlich die folgenglieder darin abzuschätzen... Dein [mm] N_{0} [/mm] hast du nachher um die gesamte reihe abzuschätzen... es entsteht also aus deinem N1 und N2, indem du das maximum davon wählst.
Zur zweiten frage... was macht das N1? Also dein [mm] a_{N1} [/mm] ist hier einfach nur ein Folgenglied von [mm] a_{n}.. [/mm] halt das Folgenglied mit dem Index N1. Das ganze soll einfach eine Abschätzung sein.... Du betrachtest nen Teil der Folge um zu sehen wie groß der Wert ist, bzw, wie sehr er sich von einem Grenzwert unterscheidet...
Zur letzten Frage:
$ [mm] \le \bruch{|a_{1}-a| + ... + |a_{n{1}}-a|}{n} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{|a_{n_{1}+1}-a| + ... + |a_{n}-a|}{n} \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] $
Hier wurde einfach nur die summe gesplittet.... und zwar in:
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] *[ [mm] \summe_{i=1}^{n_{1}} a_{i} [/mm] + [mm] \summe_{j=n_{1}}^{n} a_{j} [/mm] ]
wenn noch fragen sind, schaue ich gleich noch mal rein, ansonsten morgen früh
greets bernhard
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