konstante kompl. Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet, [mm]f:G \rightarrow \IC[/mm] holomorph, und [mm]\phi : \IC \rightarrow \IR[/mm] eine reell-differenzierbare Funktion, sodass [mm]\phi \circ f = 0[/mm] und [mm]D \phi \left( f \left( z \right) \right) \neq 0 [/mm] für alle [mm] z \in G[/mm] gilt.
Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] konstant ist. |
Hier hapert es bei einer Grundüberlegung:
Aus [mm]D \phi \left( f \left( z \right) \right) \neq 0 [/mm] ergibt sich doch nach Kettenregel:
[mm]D \phi \left( f \left( z \right) \right) = f'(z) \cdot \phi' \left(f(z) \right) \neq 0[/mm]
Wenn das stimmt, müsste ja gelten:
[mm]f'(z) \neq 0 \, \forall \, z \in G[/mm]
Dann wäre doch f aber nicht konstant, oder?
Wo versteckt sich mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Fr 24.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]G \subseteq \IC[/mm] ein Gebiet, [mm]f:G \rightarrow \IC[/mm]
> holomorph, und [mm]\phi : \IC \rightarrow \IR[/mm] eine
> reell-differenzierbare Funktion, sodass [mm]\phi \circ f = 0[/mm]
> und [mm]D \phi \left( f \left( z \right) \right) \neq 0[/mm] für
> alle [mm]z \in G[/mm] gilt.
>
> Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] konstant ist.
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> Hier hapert es bei einer Grundüberlegung:
> Aus [mm]D \phi \left( f \left( z \right) \right) \neq 0[/mm] ergibt
> sich doch nach Kettenregel:
>
> [mm]D \phi \left( f \left( z \right) \right) = f'(z) \cdot \phi' \left(f(z) \right) \neq 0[/mm]
Das hast Du falsch interpretiert !
$ D [mm] \phi \left( f \left( z \right) \right) \neq [/mm] 0 $ für alle $ z [mm] \in [/mm] G $ bedeutet:
[mm] $\phi'(f(z)) \ne [/mm] 0$ für alle $ z [mm] \in [/mm] G $
Nun lass auf $ [mm] \phi \circ [/mm] f = 0 $ die Kettenregel los.
FRED
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> Wenn das stimmt, müsste ja gelten:
> [mm]f'(z) \neq 0 \, \forall \, z \in G[/mm]
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> Dann wäre doch f aber nicht konstant, oder?
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> Wo versteckt sich mein Denkfehler?
>
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