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| Aufgabe | | Zeige, dass die Teilmenge [mm] R'=\{x \in R | x>0 \} [/mm] von [mm] R=\{p+q*\wurzel{2}: p,q \in \IZ\} [/mm] kein minimales Element enthält. |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiß, das für ein minimales Element folgendes gelten muss:
[mm] x_0 [/mm] ist minimales Element von R': [mm] \gdw \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] R' y [mm] \le x_0 \Rightarrow y=x_0
[/mm]
Wie kan man jetzt damit zeigen, dass die Menge R' kein minimales Element enthält?
Sicherlich wenn ich annehme, dass es ein Element mit [mm] x_0 [/mm] gibt, was als Minimum fungiert und das jetzt zum Widerspruch bringen. Nur wie??
Danke schon einmal für Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 So 17.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeige, dass die Teilmenge [mm]R'=\{x \in R | x>0 \}[/mm] von
> [mm]R=\{p+q*\wurzel{2}: p,q \in \IZ\}[/mm] kein minimales Element
> enthält.
> Hallo,
>
> kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
>
> Ich weiß, das für ein minimales Element folgendes gelten
> muss:
>
> [mm]x_0[/mm] ist minimales Element von R': [mm]\gdw \forall[/mm] y [mm]\in[/mm] R' y
> [mm]\le x_0 \Rightarrow y=x_0[/mm]
>
> Wie kan man jetzt damit zeigen, dass die Menge R' kein
> minimales Element enthält?
>
> Sicherlich wenn ich annehme, dass es ein Element mit [mm]x_0[/mm]
> gibt, was als Minimum fungiert und das jetzt zum
> Widerspruch bringen. Nur wie??
Hallo,
es wird sicher ein Paar (p,q) zu finden sein, fur das [mm] p+q*\wurzel{2} [/mm] zwischen 0 und 1 liegt. Damit würde ein "minimales" Paar auch einen Wert in diesem Intervall haben.
Überlege mal, was man dann über [mm] (p+q*\wurzel{2})^2 [/mm] alles aussagen könnte.
Gruß Abakus
>
> Danke schon einmal für Hilfe.
>
> Grüße
>
>
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> Hallo,
> es wird sicher ein Paar (p,q) zu finden sein, fur das $ [mm] p+q\cdot{}\wurzel{2} [/mm] $ zwischen 0 und 1 liegt. Damit würde ein "minimales" Paar auch > einen Wert in diesem Intervall haben.
> Überlege mal, was man dann über $ [mm] (p+q\cdot{}\wurzel{2})^2 [/mm] $ alles aussagen könnte.
Hi,
da p, q ja aus [mm] \IZ [/mm] sind, kann ich ja einfach mal für p=1/2 und für q=0 einsetzen. Dann hätte ich ja ein Ergebnis zwischen 0 und 1. Und nun??
Bei deinem zweiten Tipp. [mm] (p+q\cdot{}\wurzel{2})^2 [/mm] = [mm] p^2+2pq+2*q^2. [/mm] Und nun, was sagt mir das??
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Hallo jaruleking,
> > Hallo,
> > es wird sicher ein Paar (p,q) zu finden sein, fur das
> [mm]p+q\cdot{}\wurzel{2}[/mm] zwischen 0 und 1 liegt. Damit würde
> ein "minimales" Paar auch > einen Wert in diesem Intervall
> haben.
> > Überlege mal, was man dann über
> [mm](p+q\cdot{}\wurzel{2})^2[/mm] alles aussagen könnte.
>
> Hi,
>
> da p, q ja aus [mm]\IZ[/mm] sind, kann ich ja einfach mal für p=1/2
> und für q=0 einsetzen. Dann hätte ich ja ein Ergebnis zwischen 0 und 1. Und nun??
Aber 1/2 ist doch keine ganze Zahl (?)
Wähle z.B. p=3, q=-2
>
> Bei deinem zweiten Tipp. [mm](p+q\cdot{}\wurzel{2})^2[/mm] =
> [mm]p^2+2pq+2*q^2.[/mm] Und nun, was sagt mir das??
Erstmal: Wegen [mm] 0
Nun ist aber [mm] K^2\in [/mm] R. Warum? Setze [mm] p'=p^2+2pq+2q^2 [/mm] und q'=0
Nun sollte es klar sein.
>
>
LG
EDIT: Achtung, [mm] (p+\sqrt{2}q)^2 [/mm] wurde nicht richtig ausgeklammert. Entsprechend hier Folgefehler. Berichtung
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Hi,
> Aber 1/2 ist doch keine ganze Zahl (?)
> Wähle z.B. p=3, q=-2
natürlich. kleiner Blackout.
[mm] 0
> Erstmal: Wegen $ [mm] 0
> Nun ist aber $ [mm] K^2\in [/mm] $ R. Warum? Setze $ [mm] p'=p^2+2pq+2q^2 [/mm] $ und q'=0
$ [mm] K^2\in [/mm] $ R ist doch [mm] \in [/mm] R, weil [mm] K^2 \subset [/mm] K ist, oder?
Sollen jetzt p' und q' auch [mm] \in K^2 [/mm] sein? Und was mache ich jetzt mit $ [mm] p'=p^2+2pq+2q^2 [/mm] $ und q'=0 ? komm leider noch nicht so ganz vor. Ich muss ja sicherlich damit irgendwie einen Widersrpuch zeigen, oder?
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Hallo,
das hier ist ein Irrweg. Siehe hier
> Hi,
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> > Aber 1/2 ist doch keine ganze Zahl (?)
> > Wähle z.B. p=3, q=-2
>
> natürlich. kleiner Blackout.
>
> [mm]0
> Element, oder? Sonst kann ja die Menge biliebig groß
> werden.
>
>
> > Erstmal: Wegen [mm]0
> [mm]0
> > Nun ist aber [mm]K^2\in[/mm] R. Warum? Setze [mm]p'=p^2+2pq+2q^2[/mm] und
> q'=0
>
> [mm]K^2\in[/mm] R ist doch [mm]\in[/mm] R, weil [mm]K^2 \subset[/mm] K ist, oder?
Was soll das bedeuten? Eine Zahl als Teilmenge einer anderen?
>
> Sollen jetzt p' und q' auch [mm]\in K^2[/mm] sein? Und was mache ich
> jetzt mit [mm]p'=p^2+2pq+2q^2[/mm] und q'=0 ? komm leider noch nicht
> so ganz vor. Ich muss ja sicherlich damit irgendwie einen
> Widersrpuch zeigen, oder?
>
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 So 17.04.2011 | | Autor: | jaruleking |
Kann es sein, dass du hier noch ein Dokument eingefügt hast? Das kann ich aber irgendwie gar nicht öffnen....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 17.04.2011 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > es wird sicher ein Paar (p,q) zu finden sein, fur das
> [mm]p+q\cdot{}\wurzel{2}[/mm] zwischen 0 und 1 liegt. Damit würde
> ein "minimales" Paar auch > einen Wert in diesem Intervall
> haben.
> > Überlege mal, was man dann über
> [mm](p+q\cdot{}\wurzel{2})^2[/mm] alles aussagen könnte.
>
> Hi,
>
> da p, q ja aus [mm]\IZ[/mm] sind, kann ich ja einfach mal für p=1/2
> und für q=0 einsetzen. Dann hätte ich ja ein Ergebnis
> zwischen 0 und 1. Und nun??
>
> Bei deinem zweiten Tipp. [mm](p+q\cdot{}\wurzel{2})^2[/mm] =
> [mm]p^2+2pq+2*q^2.[/mm] Und nun, was sagt mir das??
Das ist falsch. Richtig ist
[mm]p^2+2pq\wurzel{2}+2*q^2[/mm] .
Wenn wir jetzt die Summanden mit und ohne [mm] \wurzel{2} [/mm] voneinander trennen, erhalten wir
[mm] p^2+2q^2 [/mm] (also eine ganze Zahl) und mit [mm] 2pq\wurzel{2} [/mm] ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Das ist wieder eine Zahl der Form [mm] a+b\cdot{}\wurzel{2}, [/mm] und als Quadrat einer angeblich existierenden minimalen Zahl [mm] p+q\cdot{}\wurzel{2} [/mm] noch kleiner als diese (aber immerhin auch positiv).
Gruß Abakus
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 So 17.04.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
oh verdammt, das hätte ich nachrechnen sollen. :[
LG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $ p^2+2pq\wurzel{2}+2\cdot{}q^2 $ .
> Wenn wir jetzt die Summanden mit und ohne $ \wurzel{2} $ voneinander trennen, erhalten wir
> $ p^2+2q^2 $ (also eine ganze Zahl) und mit $ 2pq\wurzel{2} $ ein ganzzahliges Vielfaches von $ \wurzel{2}. $
> Das ist wieder eine Zahl der Form $ a+b\cdot{}\wurzel{2}, $ und als Quadrat einer angeblich existierenden minimalen Zahl $ p+q\cdot{\wurzel{2} $ noch kleiner als diese (aber immerhin auch positiv).
Ich versuche jetzt mal, einen kompletten Beweis zu formulieren. Mal gucken was ihr dazu sagt.
Sei x_0 das minimale Element von R', was zwischen 0 und 1 liegt, d.h. für das minimale Element gilt:
0<p+q\sqrt{2}<1.
Betrachten wir (p+q\sqrt{2})^2= p^2+2pq\wurzel{2}+2\cdot{}q^2, so können wir dies darstellen als
a+b*\wurzel{2}, mit a=p^2+2q^2 und b=2pq
Sei y_0 das minimale Element von a+b*\wurzel{2}, mit 0<a+b\sqrt{2}<1.
Somit erhalten wir aber einen Widerspruch, denn wegen 0<a+b\sqrt{2}<p+q\sqrt{2}<1, kann x_0 nicht das minimale Element von R' sein.
Müsste doch so passen, oder?
Mich würde aber die Variante von kamaleonti auch nochmal interessieren, wie man die zuende führen kann.
grüße
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Hi,
> > [mm]p^2+2pq\wurzel{2}+2\cdot{}q^2[/mm] .
> > Wenn wir jetzt die Summanden mit und ohne [mm]\wurzel{2}[/mm]
> voneinander trennen, erhalten wir
> > [mm]p^2+2q^2[/mm] (also eine ganze Zahl) und mit [mm]2pq\wurzel{2}[/mm]
> ein ganzzahliges Vielfaches von [mm]\wurzel{2}.[/mm]
> > Das ist wieder eine Zahl der Form [mm]a+b\cdot{}\wurzel{2},[/mm]
> und als Quadrat einer angeblich existierenden minimalen
> Zahl [mm]p+q\cdot{\wurzel{2}[/mm] noch kleiner als diese (aber
> immerhin auch positiv).
>
>
> Ich versuche jetzt mal, einen kompletten Beweis zu
> formulieren. Mal gucken was ihr dazu sagt.
>
> Sei [mm]x_0[/mm] das minimale Element von R', was zwischen 0 und 1
> liegt, d.h. für das minimale Element gilt:
(das ist streng genommen eine Gegenannahme)
>
> [mm]0
Zur Beweis der Existenz eines solchen Elements in R zwischen 0 und 1 würde ich noch ein Beispiel (etwa p=3, q=2) angeben.
>
> Betrachten wir [mm](p+q\sqrt{2})^2= p^2+2pq\wurzel{2}+2\cdot{}q^2,[/mm]
> so können wir dies darstellen als
>
> [mm]a+b*\wurzel{2},[/mm] mit [mm]a=p^2+2q^2[/mm] und b=2pq
>
> Sei [mm]y_0[/mm] das minimale Element von [mm]a+b*\wurzel{2},[/mm] mit
> [mm]0
Diesen Satz kannst du weglassen. Hier muss stattdessen noch die Begründung kommen, dass das Quadrat von [mm] x_0 [/mm] kleiner als [mm] x_0 [/mm] ist wegen [mm] 0
>
> Somit erhalten wir aber einen Widerspruch, denn wegen
> [mm]0
> Element von R' sein.
>
> Müsste doch so passen, oder?
>
>
> Mich würde aber die Variante von kamaleonti auch nochmal
> interessieren, wie man die zuende führen kann.
Das war vom Prinzip her das gleiche Verfahren. Aber mit dem Hintergrund, dass [mm] (p+\sqrt{2}q)^2 [/mm] falsch ausgeklammert war, nicht richtig.
>
> grüße
>
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 17.04.2011 | | Autor: | jaruleking |
Ok,
danke euch.
Grüße
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