eigenvektor -> eigenraum? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.
A= [mm] \pmat{ 2 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 } [/mm] |
Bin gerade beim Wiederholen und habe die Aufgabe durchgerechnet.
Nun habe ich dazu zwei Fragen:
Beim Berechnen der Eigenvektoren muss man ja die Nullstellen vom charakteristischen Polynom finden. In der Schule habe ich damals gelernt, dass man bei einem Rang von 3 erstmal die erste Nullstelle raten muss und dann Polynomdivision macht. Das hat in dem Fall hier auch funktioniert, aber kann ich bei einer Klausur in der linearen Algebra auch davon ausgehen, dass man eine Nullstelle erstmal raten kann?
Meine zweite Frage:
Meine Ergebnisse sind die folgenden
Eigenwerte:-1, 2, 4 (Die stehen auch so in der Lösung von der Aufgabe drin)
Eigenvektor zu Eigenwert -1:
(-1; 0; 1)
Eigenvektor zu Eigenwert 2:
(-2; -3; 2)
Eigenvektor zu Eigenwert 4:
(8; 5; 2)
Nun stehen diese Eigenvektoren aber nicht in der Lösung der Aufgabe, aber ich habe sie mit einem Script im Internet überprüft und sie scheinen auf jeden Fall zu stimmen.
In der Lösung steht nun beispielsweise:
"Für die Eigenräume gilt:
[mm] Eig(A,-1)=Span(\vektor{8 \\ -10 \\ -7})
[/mm]
..."
Und das verstehe ich nun nicht, also frage ich nach. In meiner Vorstellung war ein Eigenraum einfach ein Raum, der vom Eigenvektor des Eigenwertes aufgespannt wird. Das scheint ja nun nicht zu stimmen, da ich mit (-1; 0; 1) garantiert nicht auf diese Werte dort komme. Wie komme ich also auf diesen Eigenraum? Und bedeutet das Span dort dasselbe wie Lin? Also dass alle möglichen Linearkombinationen enthalten sind?
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Hallo Der_Marder,
> Berechnen Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte
> und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.
>
> A= [mm]\pmat{ 2 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 1 }[/mm]
> Bin gerade
> beim Wiederholen und habe die Aufgabe durchgerechnet.
>
> Nun habe ich dazu zwei Fragen:
>
> Beim Berechnen der Eigenvektoren muss man ja die
> Nullstellen vom charakteristischen Polynom finden. In der
> Schule habe ich damals gelernt, dass man bei einem Rang von
> 3 erstmal die erste Nullstelle raten muss und dann
> Polynomdivision macht. Das hat in dem Fall hier auch
> funktioniert, aber kann ich bei einer Klausur in der
> linearen Algebra auch davon ausgehen, dass man eine
> Nullstelle erstmal raten kann?
Ja, sonst ist das ja kaum zu schaffen. Man hat ja in einer Klausur nur begrenzt Zeit, da werden keine unmöglichen Dinge drankommen ...
>
> Meine zweite Frage:
>
> Meine Ergebnisse sind die folgenden
>
> Eigenwerte:-1, 2, 4 (Die stehen auch so in der Lösung von
> der Aufgabe drin)
>
> Eigenvektor zu Eigenwert -1:
> (-1; 0; 1)![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Eigenvektor zu Eigenwert 2:
> (-2; -3; 2)
> Eigenvektor zu Eigenwert 4:
> (8; 5; 2)
Vorausgesetz die Eigenwerte stimmen, so sind diese Eigenvektoren korrekt!
> Nun stehen diese Eigenvektoren aber nicht in der Lösung
> der Aufgabe, aber ich habe sie mit einem Script im Internet
> überprüft und sie scheinen auf jeden Fall zu stimmen.
Ja, darauf komme ich auch!
>
> In der Lösung steht nun beispielsweise:
>
> "Für die Eigenräume gilt:
>
> [mm]Eig(A,-1)=Span(\vektor{8 \\ -10 \\ -7})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kann nicht stimmen, die zweite Komponente muss 0 sein ...
>
> ..."
>
> Und das verstehe ich nun nicht, also frage ich nach. In
> meiner Vorstellung war ein Eigenraum einfach ein Raum, der
> vom Eigenvektor des Eigenwertes aufgespannt wird.
Zusammen mit dem Nullvektor!
> Das scheint ja nun nicht zu stimmen, da ich mit (-1; 0; 1)
> garantiert nicht auf diese Werte dort komme. Wie komme ich
> also auf diesen Eigenraum? Und bedeutet das Span dort
> dasselbe wie Lin?
Was ist Lin?
Der Spann ist die Menge aller Linearkombinationen des/der gegebenen Vektors/en
> Also dass alle möglichen
> Linearkombinationen enthalten sind?
Genau!
Auch Ersteller von Musterlösungen sind Menschen, daher können die Lösungen Fehler enthalten.
Wenn man von den Eigenwerten oben ausgeht, stimmt deine Lösung !
Gruß
schachuzipus
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