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| Aufgabe | | Zeige, das das direkte Produkt VxW durch die Verknüpfung (v,w)+(v´,w´) := (v+v´,w+w´) und [mm] \lambda*(v,w):= \lambda*v, \lambda*w) [/mm] für [mm] v,v´\inV [/mm] und w,w´ind W, [mm] \lambda \in \IK [/mm] zu einem Untervektorrraum wird. |
Muss ich hier zeigen, dass (VxW,+) und (VxW,*) eine abelsche, kommultative Gruppe ist?
Addition:
((v,w)+(v',w'))+(v'',w'') = (v+v'+v'')+(w+w'+w'') = (v,w)+((v',w')+(v'',w''))
stimmt das?da bin ich mir etwas unsicher.. den rest habe ich bereits gezeigt.
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 19.11.2009 | | Autor: | Knuff |
> Zeige, das das direkte Produkt VxW durch die Verknüpfung
> (v,w)+(v´,w´) := (v+v´,w+w´) und [mm]\lambda*(v,w):= \lambda*v, \lambda*w)[/mm]
> für [mm]v,v´\inV[/mm] und w,w´ind W, [mm]\lambda \in \IK[/mm] zu einem
> Untervektorrraum wird.
> Muss ich hier zeigen, dass (VxW,+) und (VxW,*) eine
> abelsche, kommultative Gruppe ist?
hi Mathegirl!
Ich denke, du musst nur zeigen, dass (V x W, +) eine abelsche Gruppe ist und dass die Skalarmultiplikation für alle v, w [mm] \in [/mm] V und [mm] \alpha,\beta \in [/mm] K die folgenden Bedingungen erfüllt:
i) [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] * v = [mm] \alpha [/mm] v + [mm] \beta [/mm] v
ii) [mm] \alpha [/mm] ( v + w ) = [mm] \alpha [/mm] v + [mm] \alpha [/mm] w
iii) [mm] (\alpha [/mm] * [mm] \beta) [/mm] * v = [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * v)
iv) 1 * v = v
> Addition:
> ((v,w)+(v',w'))+(v'',w'') = (v+v'+v'')+(w+w'+w'') =
> (v,w)+((v',w')+(v'',w''))
>
> stimmt das?da bin ich mir etwas unsicher.. den rest habe
> ich bereits gezeigt.
schreib vllt noch einen zwischenschritt hin:
((v,w)+(v',w'))+(v'',w'') = (v+v', w+w') + (v'', w'') = ...
bzw. (v,w) + ((v', w') + (v'', w'') = (v, w) + ( v' + v'', w' + w'')=...
Grüße, Knuff
>
> Mathegirl
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