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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 30.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | [mm] A= \pmat{0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ist meine Rechnung richtig ?:
Ich tausche die 1. mit der 2.Zeile, dann die 2. mit der 3., dann die 3. mit der 4. (also für die Determinante 3 mal -1 = -1) und erhalte dann als charakteristisches Polynom [mm] -(\lambda-1)^4 [/mm]
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> [mm]A= \pmat{0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ist meine Rechnung richtig ?:
> Ich tausche die 1. mit der 2.Zeile, dann die 2. mit der
> 3., dann die 3. mit der 4. (also für die Determinante 3 mal
> -1 = -1) und erhalte dann als charakteristisches Polynom
> [mm]-(\lambda-1)^4[/mm]
Leider nicht.
Ich erhalte ein anderes charakteristisches Polynom.
Lass Die Matrix A am besten so wie sie ist und berechne det[mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm].
>
> Danke, Susanne.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 30.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> > Ist meine Rechnung richtig ?:
> > Ich tausche die 1. mit der 2.Zeile, dann die 2. mit der
> > 3., dann die 3. mit der 4. (also für die Determinante 3 mal
> > -1 = -1) und erhalte dann als charakteristisches Polynom
> > [mm]-(\lambda-1)^4[/mm]
>
> Leider nicht.
>
> Ich erhalte ein anderes charakteristisches Polynom.
>
> Lass Die Matrix A am besten so wie sie ist und berechne
> det[mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm]
Ah, mein Fehler war, dass ich die Ausgangsmatrix erst umgeformt habe und dann [mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm] gerechnet habe.
Neuer Versuch:
Jetz erhalte ich [mm] \lambda^3 * \bruch{-1}{\lambda^3} = -1 [/mm]
Ist das jetzt ok ?
Danke, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> Hallo MathePower
> vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
>
> > > Ist meine Rechnung richtig ?:
> > > Ich tausche die 1. mit der 2.Zeile, dann die 2. mit
> der
> > > 3., dann die 3. mit der 4. (also für die Determinante 3 mal
> > > -1 = -1) und erhalte dann als charakteristisches Polynom
> > > [mm]-(\lambda-1)^4[/mm]
> >
> > Leider nicht.
> >
> > Ich erhalte ein anderes charakteristisches Polynom.
> >
> > Lass Die Matrix A am besten so wie sie ist und berechne
> > det[mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm]
>
> Ah, mein Fehler war, dass ich die Ausgangsmatrix erst
> umgeformt habe und dann [mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm] gerechnet
> habe.
>
> Neuer Versuch:
> Jetz erhalte ich [mm]\lambda^3 * \bruch{-1}{\lambda^3} = -1[/mm]
Poste doch bitte mal die Rechenschritte, wie Du darauf kommst,
dann können wir feststellen, wo der Fehlerteufel zugeschlagen hat.
>
> Ist das jetzt ok ?
>
Da muss ich Dich leider enttäuschen.
Berechne die det[mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm] nach dem ![[]](/images/popup.gif) Laplaceschen Entwicklungssatz:
[mm] \vmat{A-\lambda*I}=\vmat{\pmat{0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0} - \lambda*\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}}=\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\lambda}}[/mm]
[mm]=\left(-1\right)^{1+1}*\left(-\lambda\right)*\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda}} + \left(-1\right)^{1+4}* \vmat{\pmat{1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
> Danke, Susanne.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 30.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
>
> Berechne die det[mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm] nach dem
> Laplaceschen Entwicklungssatz:
Hallo MathePower,
einen Teil Deiner Lösung kann ich nachvollziehen, aber leider nicht alles.
> [mm]\vmat{A-\lambda*I}=\vmat{\pmat{0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0} - \lambda*\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}}=\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\lambda}}[/mm]
Das habe ich dann in eine obere Dreiecksmatrix umgewandelt, indem ich die 1. Zeile mit [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] multipliziert und zur 2. addiert habe; ebenso die 2. mit der 3. und die 3. mit der 4.
Dann erhalte ich [mm] \pmat{-\lambda&0&0&1\\1&-\lambda&0&\bruch{1}{\lambda}\\0&1&-\lambda&\bruch{1}{\lambda^2}\\0&0&1&-\lambda+\bruch{1}{\lambda^3}}[/mm] Wenn ich dann die Diagonalelemente multipliziere, erhalte ich [mm] (-\lambda)^3(-\lambda+\bruch{1}{\lambda^3}) [/mm] (Hier hatte ich vorhin das [mm] -\lambda [/mm] in der 2. Klammer vergessen, daher kam der Fehler).
Wenn ich das Ganze mit Laplace mache:
[mm] (-1)(-\lambda) det \pmat{-\lambda&0&0\\1&-\lambda&0\\0&1&-\lambda} = (-1)(\lambda)(\lambda)(\lambda)^2 [/mm]
Das ist jetzt aber [mm] (-1)(\lambda)^4 [/mm]
>
> [mm]=\left(-1\right)^{1+1}*\left(-\lambda\right)*\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda}} + \left(-1\right)^{1+4}* \vmat{\pmat{1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
Hilfe, wo ist mein Fehler ?
VIELEN DANK, Susanne.
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Hallo SusanneK,
> >
> > Berechne die det[mm]\left(A-\lambda*I\right)[/mm] nach dem
> >
> Laplaceschen Entwicklungssatz:
>
> Hallo MathePower,
> einen Teil Deiner Lösung kann ich nachvollziehen, aber
> leider nicht alles.
>
> > [mm]\vmat{A-\lambda*I}=\vmat{\pmat{0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0} - \lambda*\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}}=\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\lambda}}[/mm]
>
> Das habe ich dann in eine obere Dreiecksmatrix umgewandelt,
> indem ich die 1. Zeile mit [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm] multipliziert
> und zur 2. addiert habe; ebenso die 2. mit der 3. und die
> 3. mit der 4.
> Dann erhalte ich
> [mm]\pmat{-\lambda&0&0&1\\1&-\lambda&0&\bruch{1}{\lambda}\\0&1&-\lambda&\bruch{1}{\lambda^2}\\0&0&1&-\lambda+\bruch{1}{\lambda^3}}[/mm]
> Wenn ich dann die Diagonalelemente multipliziere, erhalte
> ich [mm](-\lambda)^3(-\lambda+\bruch{1}{\lambda^3})[/mm] (Hier hatte
> ich vorhin das [mm]-\lambda[/mm] in der 2. Klammer vergessen, daher
> kam der Fehler).
Das stimmt doch: [mm]-\lambda^{3}*\left(-\lambda+\bruch{1}{\lambda^{3}}\right)=\lambda^{4}-1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich das Ganze mit Laplace mache:
> [mm](-1)(-\lambda) det \pmat{-\lambda&0&0\\1&-\lambda&0\\0&1&-\lambda} = (-1)(\lambda)(\lambda)(\lambda)^2[/mm]
>
> Das ist jetzt aber [mm](-1)(\lambda)^4[/mm]
Hier wird nach der 1. Spalte und 1. Zeile entwickelt,
demnach ergibt sich das Vorzeichen zu:
[mm]\left(-1\right)^{1+1}=\red{+}1[/mm]
[mm](-1)^{\red{1+1}}(-\lambda) \det \pmat{-\lambda&0&0\\1&-\lambda&0\\0&1&-\lambda} = \red{+}1*(-\lambda) \det \pmat{-\lambda&0&0\\1&-\lambda&0\\0&1&-\lambda}=(\red{+}1)(\lambda)(\lambda)(\lambda)^2[/mm]
> >
> >
> [mm]=\left(-1\right)^{1+1}*\left(-\lambda\right)*\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda}} + \left(-1\right)^{1+4}* \vmat{\pmat{1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> >
>
> Hilfe, wo ist mein Fehler ?
Nach Laplace musst das so heißen:
[mm]=\left(-1\right)^{1+1}*\left(-\lambda\right)*\vmat{\pmat{-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda}} + \red{\left(-1\right)^{1+4}* \vmat{\pmat{1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \\ 0 & 0 & 1}}[/mm]
[mm]=\lambda^{4}+ \red{\left(-1\right)^{1+4}* \vmat{\pmat{1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 1 & -\lambda \\ 0 & 0 & 1}}[/mm]
>
> VIELEN DANK, Susanne.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 So 30.03.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo MathePower,
jetzt ist der Groschen gefallen !
VIELEN VIELEN DANK
LG, Susanne.
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