bestimmte Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | user0009 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{x^n(1-x)^m dx} [/mm] n,m [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo!
Ich möchte das Integral lösen. Allerdings wird das bei mir eine endlos integration. Denn entweder wird die Hochzahl n-1...-n-n-1 oder m+1...m+m+1
Ich hätte das Beispiel versucht mit der partiellen Integrationsregel zu lösen. Aber wie gesagt es wird eine endlos Integration.
Ich habe das ganze 2 mal integriert:
[mm] =x^n*\bruch{(1-x)^{m+1}}{{m+1}}-\integral_{0}^{1}{\bruch{(x^{n-1})}{n}*\bruch{(1-x)^{m+1}}{m+1}dx}
[/mm]
[mm] =x^n*\bruch{(1-x)^{m+1}}{{m+1}}-\bruch{(1-x)^{m+2}}{n*(m+1)(m+2)}+\bruch{1}{n*(m+1)(m+2)(n-1)}\integral_{0}^{1}{(x^{n-2})*(1-x)^{m+2}dx}
[/mm]
Wenn ich weiter integriere komme ich nie zu einem Ende. Was habe ich nicht beachtet? Was kann man umschreiben?
Danke für die Hilfe im voraus
lg user0009
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 15.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es kann sein, dass das ganze auch mittels partieller Integration klappt (und evtl. Induktionsbeweis).
Aber vielleicht nutzt Du einfach folgendes mal aus:
[mm] $x^n(1-x)^m=x^n*\sum_{k=0}^m{m \choose k}1^{m-k}(-x)^k=x^n*\sum_{k=0}^m [/mm] {m [mm] \choose k}(-1)^k x^k=\sum_{k=0}^m [/mm] {m [mm] \choose k}(-1)^k x^{k+n}$
[/mm]
D.h. Du integrierst über "eine endliche Summe von Funktionen", darfst also insbesondere Summe und Integral vertauschen, das vereinfacht das ganze.
Gruß,
Marcel
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