arcosh(x) ableiten auf 2 Arten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 19.01.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die erste Ableitung von arcosh, d.h. der Umkehrfunktion des cosh auf zwei verschiedene Weisen und zeigen Sie, dass beide Ergebnisse übereinstimmen. |
Hi zusammen,
ich habe die Ableitung des arcosh(x) mit der Kettenregel berechnet.
arcosh(x) = ln(x + [mm] \wurzel{x^2 - 1})
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{x + \wurzel{x^2 - 1}} [/mm] * (1 + [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2 - 1}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x + \wurzel{x^2 - 1}} [/mm] * [mm] (\bruch{\wurzel{x^2 - 1}}{\wurzel{x^2 - 1}} [/mm] + [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2 - 1}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{x + \wurzel{x^2 - 1}} [/mm] * [mm] \bruch{x + \wurzel{x^2 - 1}}{\wurzel{x^2 - 1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{x^2 - 1}}
[/mm]
Was jedoch ist denn jetzt die zweite Art die Ableitung zu berechnen. Gibt es dafür eine bestimmte Formel ?
Ich habe mal folgendes probiert:
cosh(x) = (1/2) * (e^(-x) + [mm] e^x)
[/mm]
arcosh(x) = [mm] \bruch{1}{\bruch{e^(-x) + e^x}{2}}
[/mm]
Dann habe ich die Quotientenregel angewendet und etwas rumgerechnet und stehe jetzt auf dem Schlauch.
Hier bin ich nun ratlos.
[mm] \bruch{2e^(-x) - 2e^x}{e^(-2x) + e^(2x) + 2}
[/mm]
Wie ich das nun zu [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2 - 1}} [/mm] bringen sollen ist mir ein Rätsel.
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> Bestimmen Sie die erste Ableitung von arcosh, d.h. der
> Umkehrfunktion des cosh auf zwei verschiedene Weisen und
> zeigen Sie, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.
> Hi zusammen,
>
> ich habe die Ableitung des arcosh(x) mit der Kettenregel
> berechnet.
>
> arcosh(x) = ln(x + [mm]\wurzel{x^2 - 1})[/mm]
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{x + \wurzel{x^2 - 1}}[/mm] * (1 +
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2 - 1}})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x + \wurzel{x^2 - 1}}[/mm]
> * [mm](\bruch{\wurzel{x^2 - 1}}{\wurzel{x^2 - 1}}[/mm] +
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2 - 1}})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x + \wurzel{x^2 - 1}}[/mm]
> * [mm]\bruch{x + \wurzel{x^2 - 1}}{\wurzel{x^2 - 1}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{x^2 - 1}}[/mm]
>
> Was jedoch ist denn jetzt die zweite Art die Ableitung zu
> berechnen. Gibt es dafür eine bestimmte Formel ?
>
> Ich habe mal folgendes probiert:
> cosh(x) = (1/2) * (e^(-x) + [mm]e^x)[/mm]
> arcosh(x) = [mm]\bruch{1}{\bruch{e^(-x) + e^x}{2}}[/mm]
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
arcosh ist nicht der Kehrwert von cosh. Du verwechselst das evtl. mit einer Ableitungsregel:
[mm] arcosh'(x)=\bruch{1}{cosh'(arcosh(x))}
[/mm]
Herleitung:
Es ist cosh(arcosh(x))=x
Leite nun beide Seiten ab. Benutze die Kettenregel.
[mm] cosh'(arcosh(x))*\underbrace{arcosh'(x)}_{innere Ableitung, gesucht}=1
[/mm]
Das gibt umgestellt [mm] arcosh'(x)=\bruch{1}{cosh'(arcosh(x))} =arcosh'(x)=\bruch{1}{sinh(arcosh(x))}
[/mm]
Jetzt musst du nur noch wissen, wie man sinh(arcosh(x)) berechnen kann.
Setze y = arcosh(x) [mm] \gdw [/mm] cosh(y)=x.
[mm] cosh^2(y)-sinh^2(y)=1
[/mm]
[mm] sinh(y)=\wurzel{cosh^2(y)-1}
[/mm]
[mm] sinh(cosh(x))=\wurzel{x^2-1}
[/mm]
> Dann habe ich die Quotientenregel angewendet und etwas
> rumgerechnet und stehe jetzt auf dem Schlauch.
> Hier bin ich nun ratlos.
> [mm]\bruch{2e^(-x) - 2e^x}{e^(-2x) + e^(2x) + 2}[/mm]
> Wie ich das
> nun zu [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2 - 1}}[/mm] bringen sollen ist mir
> ein Rätsel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 19.01.2014 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe und die ausführliche Erklärung.
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Hallo Bindl,
Du sollst ja auf 2 Arten ableiten.
Weißt Du etwas über implizite Funktionen?
Da gäbe es eine Möglichkeit.
Oder weißt Du etwas über Zusammenhänge von Ableitung und Umkehrfunktion? Das wäre hier noch leichter.
Grüße
reverend
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