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Forum "Relationen" - Äquivalenzrelation, allg.Frage
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Äquivalenzrelation, allg.Frage: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 So 25.10.2009
Autor: ChopSuey

Hallo,

eine kurze Frage  zur Äquivalenzrelation.

Kann eine binäre Relation auf zwei unterschiedlichen nichtleeren Mengen $\ A, B $ auch zur Äquivalenzrelation werden?

Ich meine z.B. etwas wie $\ R [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B = [mm] \{(a,b) \in A \times B: (a \in A) \wedge (b \in B) \} [/mm] $.

Ich habe bisher, so glaube ich, die Äquivalenzrelation nur als zweistellige Relation auf einer Menge $\ M $ kennengelernt, also $\ R [mm] \subseteq M\times [/mm] M $.

Würde mich über eine Antwort freuen.
Gruß
ChopSuey

        
Bezug
Äquivalenzrelation, allg.Frage: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 00:49 Mo 26.10.2009
Autor: dayscott

Äquivalenzrelation: Ein Relation auf einer Menge M, die reflexiv
transitiv, und symmetrisch ist.

[mm]$\ R \subseteq A \times B [/mm] erfüllt im Allgemeinen (*) diese 3 Eigenschaften.

Beispiel wäre wenn A die Menge der Studenten ist und B die Menge der Kurse.

(*) soll heisen, dass das Kreuzprodukt das zunächst schon erfüllt, das Kreuzprodukt ist ja die "größte  mögliche " Relation. Ansonsten hängt das von der Relation ab, ob sie Äquivalenzklassen bilden kann. (wenn jmd das mathematischer ausdrücken kann, so bitte ich darum)

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation, allg.Frage: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:02 Mo 26.10.2009
Autor: ChopSuey

Hallo dayscott,

danke für Deine Antwort.

> Äquivalenzrelation: Ein Relation auf einer Menge M, die
> reflexiv
>  transitiv, und symmetrisch ist.

Ja, richtig. $\ (M,M,R) $ ist dann die Relation auf M. Hier ist aber $\ R [mm] \subseteq M^2 [/mm] $

>
> [mm]$\ R \subseteq A \times B[/mm] erfüllt im Allgemeinen (*) diese
> 3 Eigenschaften.
>  
> Beispiel wäre wenn A die Menge der Studenten ist und B die
> Menge der Kurse.
>  
> (*) soll heisen, dass das Kreuzprodukt das zunächst schon
> erfüllt, das Kreuzprodukt ist ja die "größte  mögliche
> " Relation. Ansonsten hängt das von der Relation ab, ob
> sie Äquivalenzklassen bilden kann. (wenn jmd das
> mathematischer ausdrücken kann, so bitte ich darum)

Hier hätten wir aber, entgegen der Definition der Äquivalenzrelation $\ (A,B,R) $ mit $ A [mm] \not= [/mm] B $.

Ist es nicht auch so, dass eine Äquivalenzrelation immer Äquivalenzklassen bildet?
Durch die Äquivalenzrelation wird eine Menge $\ M $ doch in paarweise disjunkte Teilmengen $ T $ partitioniert.

Diese $\ T $ sind dann die Äquivalenzklassen der Elemente, die sie enthalten.

Oder nicht?

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenzrelation, allg.Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Mo 26.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Ist es nicht auch so, dass eine Äquivalenzrelation immer
> Äquivalenzklassen bildet?

Ja.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation, allg.Frage: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 08:39 Mo 26.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Äquivalenzrelation: Ein Relation auf einer Menge M, die
> reflexiv
>  transitiv, und symmetrisch ist.
>
> [mm]$\ R \subseteq A \times B[/mm] erfüllt im Allgemeinen (*) diese
> 3 Eigenschaften.
>  
> Beispiel wäre wenn A die Menge der Studenten ist und B die
> Menge der Kurse.
>  

Hallo,

schau Dir die Definition der Äquivalenzrelation an.

Eine Äquivalenzrelation R spielt sich grundsätzlich auf einer Menge M ab, ist also eine Teilmenge von MxM.


Wenn Du Dein Studenten-Kurse Beispiel zu einer Äquivalenzrelation machen willst, wäre die eine Äquivalenzrelation auf M:=AxB,

also eine Teilmenge von  (axB)x(AxB).

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Äquivalenzrelation, allg.Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Mo 26.10.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> eine kurze Frage  zur Äquivalenzrelation.
>  
> Kann eine binäre Relation auf zwei unterschiedlichen
> nichtleeren Mengen [mm]\ A, B[/mm] auch zur Äquivalenzrelation
> werden?
>  
> Ich meine z.B. etwas wie [mm]\ R \subseteq A \times B = \{(a,b) \in A \times B: (a \in A) \wedge (b \in B) \} [/mm].
>  
> Ich habe bisher, so glaube ich, die Äquivalenzrelation nur
> als zweistellige Relation auf einer Menge [mm]\ M[/mm]
> kennengelernt, also [mm]\ R \subseteq M\times M [/mm].

Hallo,

eine Äquivalenzrelation R auf M ist immer eine Teilmenge von MxM.

Aaaaaber: die Menge M kann natürlich die Menge AxB sein.

Dann wäre die Äquivalenzrelation R eine Teilmenge von (AxB)x(AxB).

Äquivalent sind hier keien Elemente von A zu solchen von B, sondern wir haben hier äquivalente Paare.


Gruß v. Angela






Bezug
                
Bezug
Äquivalenzrelation, allg.Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Di 27.10.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Angela,

tolle Erklärung, vielen Dank!

Grüße
ChopSuey

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