Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Do 13.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Beispiel:
Zeigen oder widerlegen Sie folgende Behauptung:
Sei R eine reflexive, symmetrische Relation auf A.Sei weiters:
S = {(a,c) [mm] \in [/mm] AxA | [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] A : (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R)}
Dann ist R [mm] \cup [/mm] S eine Äquivalenzrelation.
Ich täte eigentlich ja sagen hab da aber komischerweise nein stehen. Weiß aber nicht obs stimmt. Bessert mich bitte aus wenn ich bei meiner Überlegung falsch liege.
Sei A = {1,2,3,4}
Dann ist z.b. R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,2),(2,3),(3,4),(4,3)}
Jetzt ist S ja AxA sprich alle Kombinationen.
S = {....(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)}
So und da nun in S aufgrund aller Kombinationen auch die jeweilige transitive Relation zu R vorhanden ist, ist R [mm] \cup [/mm] S eine Äquivalenzrelation oder?
Bin mir nicht ganz sicher ob ich die Menge S richtig interpretiere. Kann mir bitte noch jemand S beschreiben in seinen eigenen Worten?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Do 13.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo Reaper,
also du interpretierst die Menge S schon richtig. Weil so wie sie dort gegeben ist, stellt S eine transitive Relation dar. Da (a,c) [mm] \in [/mm] AxA und [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] A: (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R, gilt also:
a [mm] \sim [/mm] b [mm] \wedge [/mm] b [mm] \sim [/mm] c und es folgt dann a [mm] \sim [/mm] c [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] R, dies ist also gerade die Transitivität
Und weil R außerdem noch reflexiv und symmetrisch ist, trifft die Behauptung also zu.
Dann ist R [mm] \cup [/mm] S mit den gegebenen Voraussetzungen eine Äquivalenzrelation, eben weil alle 3 Eigenschaften erfüllt sind.
mfg IKE
|
|
|
|
