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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - adjungierte Automorphismen
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adjungierte Automorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:14 Fr 22.07.2016
Autor: Funtak

Aufgabe
Sei Φ ein Automorphismus eines n-dimensionalen euklidischen Vektorraums V, und Φ∗ sei die Adjungierte zu Φ. Zeigen Sie:

a) Die beiden linearen Abbildungen Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ sind selbstadjungiert und haben nur positive Eigenwerte.

b) Φ∗ ◦ Φ und Φ ◦ Φ∗ haben dieselben Eigenwerte

Die a) konnte lösen aber die bekomm ich nicht hin.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.mathelounge.de/367859/%CF%86%E2%88%97-%E2%97%A6-%CF%86-und-%CF%86-%E2%97%A6-%CF%86%E2%88%97-haben-dieselben-eigenwerte

        
Bezug
adjungierte Automorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Fr 22.07.2016
Autor: hippias

Ich würde mit dem Term [mm] $\Phi^{\star}(\Phi\Phi^{\star}-\lambda)\Phi$ [/mm] herumspielen...

Bezug
        
Bezug
adjungierte Automorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Fr 22.07.2016
Autor: fred97

Eine Bemerkung, es geht allgemeiner:

Ist V ein K-Vektorraum und sind T,S:V [mm] \to [/mm] V lineare Abbildungen, so gilt für [mm] \mu \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}: [/mm]

  [mm] \mu [/mm] ist ein Eigenwert von TS  [mm] \gdw \mu [/mm] ist ein Eigenwert von ST.

Aus Symmetriegründen genügt es, die Implikation [mm] "\Rightarrow" [/mm] zu zeigen.

Tipp (wie bei hippias):

   aus [mm] $TSx=\mu [/mm] x$ folgt $STSx= [mm] \mu [/mm] Sx$.

FRED

Bezug
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