Zahlentheorie-schwere Aufgabe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Jotwie |
| Aufgabe | Hallo,
warum gilt die folgende Aussage:
Wenn a,b,c aus [mm] \IZ [/mm] sind, warum hat dann die Gleichung
ax+by=c genau dann eine Lösung, wenn der ggT von a und b ein Teiler von c ist?
Danke im Voraus.
Jotwie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Weiß jemand was dazu?
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> Hallo,
> warum gilt die folgende Aussage:
> Wenn a,b,c aus [mm]\IZ[/mm] sind, warum hat dann die Gleichung
> ax+by=c genau dann eine Lösung, wenn der ggT von a und b
> ein Teiler von c ist?
Stelle dir vor, a und b haben irgend einen gemeinsamen Teiler t. Dann ist a=r*t und b = s*t mit ganzzahligen r und s. Stelle dir weiter vor, du hättest eine ganzzahlige Lösung x und y gefunden. Dann steht links:
ax+by=rtx+sty=(rx+sy)*t=c.
Also wäre c ein Vielfaches von t, enthielte also t als Teiler. Daher gilt:
Haben a und b einen gemeinsamen Teiler und existiert eine Lösung, dann hat auch c diesen Teiler.
Alle gemeinsamen Teiler von a und b stecken aber im ggT(a,b), deshalb muss c gerade diesen als Teiler haben.
Umgekehrt ist es schwieriger, die Existenz einer Lösung zu beweisen. Vielleicht findest du im Internet etwas unter "chinesischer Restwertsatz" oder "Euklidscher Algorithmus".
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