Vollständige Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
Ich hab hier eine Aufgabe incl. Lösung (bin aber nicht sicher ob richtig) die ich nachzuvollziehen versuche.
Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die für alle natürlichen Zahlen $n [mm] \ge [/mm] 1$ gültige Beziehung:
[mm] $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 \le 2n^4$
[/mm]
1. Schritt: n=1
$(2 * 1 - [mm] 1)^3 \le [/mm] 2 * [mm] 1^4$
[/mm]
$1 [mm] \le [/mm] 2$
2. Schritt: n=n+1
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 \le 2(n+1)^4$
[/mm]
Soweit stimme ich da mit der anderen Lösung überein. Mein nächster Schritt wäre jetzt das n+1 Element aus der Summe zu lösen.
[mm] $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 [/mm] + [mm] (2(n+1)-1)^3 \le 2(n+1)^4$
[/mm]
In der anderen Lösung ist das ähnlich gemacht, nur das die Summe immer noch bis n+1 läuft. Das kommt mir irgendwie nicht richtig vor. Es sollte wie oben n sein, oder?
Damit bekommt auch der nächste Schritt wieder Sinn. Ich ersetze nun die Summe duch den Teil auf der rechten Seite von oben. (Allerdings bin ich mir bei diesem Schritt nicht sicher. Wenn es oben = und nicht [mm] \le [/mm] heißen würde wäre es mir klarer. Darf ich die Summe trotzdem so einfach dadurch ersetzen (Wenn ja, warum)? Und was wäre, wenn es ein < in der Aufgabe gewesen wäre?)
[mm] $2n^4 [/mm] + [mm] (2n+1)^3 \le 2(n+1)^4$
[/mm]
[mm] $2n^4 [/mm] + [mm] (2n)^3 [/mm] + 3 * [mm] (2n)^2 [/mm] + 3 * 2n + 1 [mm] \le 2*(n^4*4*n^3+6*n^2+4*n+1)$
[/mm]
[mm] $2n^4+8n^3+12n^2+6n+1 \le 2n^4+8n^3+12n^2+8n+2$
[/mm]
$6n [mm] \le [/mm] 8n+1$
Dann im 3. Schritt die Gültigkeit folgern.
Vielleicht kann mir jemand helfen die noch offenen Fragen zu beantworten?
Gruß
Andreas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Di 22.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die für alle
> natürlichen Zahlen [mm]n \ge 1[/mm] gültige Beziehung:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 \le 2n^4[/mm]
>
> 1. Schritt: n=1
> [mm](2 * 1 - 1)^3 \le 2 * 1^4[/mm]
> [mm]1 \le 2[/mm]
soweit ok.
> 2. Schritt: n=n+1
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 \le 2(n+1)^4[/mm]
das ist die ungleichung die du am ende deiner rechnung erhalten willst!
> Soweit stimme ich da mit der anderen Lösung überein. Mein
> nächster Schritt wäre jetzt das n+1 Element aus der Summe
> zu lösen.
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 + (2(n+1)-1)^3 \le 2(n+1)^4[/mm]
>
> In der anderen Lösung ist das ähnlich gemacht, nur das die
> Summe immer noch bis n+1 läuft. Das kommt mir irgendwie
> nicht richtig vor. Es sollte wie oben n sein, oder?
ich nehme an, dass du da recht hast.
> Damit bekommt auch der nächste Schritt wieder Sinn. Ich
> ersetze nun die Summe duch den Teil auf der rechten Seite
> von oben. (Allerdings bin ich mir bei diesem Schritt nicht
> sicher. Wenn es oben = und nicht [mm]\le[/mm] heißen würde wäre es
> mir klarer. Darf ich die Summe trotzdem so einfach dadurch
> ersetzen (Wenn ja, warum)? Und was wäre, wenn es ein < in
> der Aufgabe gewesen wäre?)
du versuchst ja die ungleichung, die du erhalten willst mit äquivalenz umformungen zu einer wahren aussage umzuformen - so nehme ich zumindest an (das geht hier aber nicht so einfach - siehe weiter unten). hier finde ich es aber geschickter einfach mal mit der linken seite anzufangen, diese nach oben abzuschätzen und zu zeigen, dass diese nicht größer sein kann, als die rechte seite in der ungleichung (damit wäre die behauptung ja auch gezeigt). dann fällt es dir vielleicht auch leichter diesen von dir hier angesprochenen schritt zu rechtfertigen, es gilt dann ja:
[m] \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 + (2(n+1)-1)^3 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 + (2n + 1)^3 [/m]
nun weißt du ja nach induktionsvorraussetzung (IV), dass [m] \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 \leq 2n^4 [/m], also kannst du in der (un)gleichungskette fortfahren und erhälst:
[m] \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^3 + (2n + 1)^3 \stackrel{\textrm{IV}}{\leq} 2n^4 + (2n + 1)^3 = 2n^4 + 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 [/m]
da $n$ positiv ist wird der term nur noch größer wenn du einfach künstlich noch $2n + 1$ hinzufügst, also gilt nach obigem und nach dem hinzufügen:
[m] \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 \leq 2n^4 + 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 \leq 2n^4 + 8n^3 + 12n^2 + 6n + 1 + (2n + 1) [/m] [m] = 2n^4 + 8n^3 + 12n^2 +8n + 2 = 2(n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) = 2 (n+1)^4 [/m], insgesamt also (wenn man die ganzen zwischenschritte weglässt):
[m] \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)^3 \leq 2 (n+1)^4 [/m]
und genau das wolltest du im induktionsschritt zeigen.
wie du vielleicht merkst halte ich nicht soviel bei induktionen einfach mit der zu beweisensn aussage zu beginnen und diese auf eine wahre aussage zu führen, denn man muss sich dabei stets im klaren sein, dass nicht die richtung [mm] $\textrm{Behauptung} \; \Longrightarrow \; \textrm{wahre Aussage}$ [/mm] interessant ist, sondern vielmehr [mm] $\textrm{Behauptung} \; \Longleftarrow \; \textrm{wahre Aussage}$. [/mm] wenn man sich aber nicht in jedem schritt überlegt, wie die entscheidende richtung zu rechtfertigen ist, kommen dabei manchmal sehr abstruse ergebnisse raus.
aber solange man sich darüber im klaren ist, ist gegen die vorgehensweise natürlich prinzipiell nichts einzuwenden.
ich hoffe deine fragen sind geklärt?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Mi 23.02.2005 | | Autor: | andreas99 |
Hi,
danke für die Erklärung. Deine Lösung leuchtet mir auch eher ein. Ich werde einfach mal den Prof. fragen was er als Lösung akzeptiert. Das ist meist die beste Lösung.
Gruß
Andreas
|
|
|
|
