Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] $y'=\frac{y}{x}+x$ [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Variation der Konstanten anhand obigen Beispiels.
[mm] $y_h=C*x$
[/mm]
$y=C(x)*x$
$y'=C'(x)*x+C(x)$
Einsetzen in die DGL:
[mm] $C'(x)*x+C(x)=\frac{C(x)*x}{x}+x$
[/mm]
$C'(x)=1$
Wenn ich nun bspw. die Anfangsbedingung y(1)=0 hätte, so könnte man schreiben
[mm] $y=x*\integral_{1}^{x}C'(t)\;dt=x*\integral_{1}^{x}1\;dt=x^2-1*x$
[/mm]
Was macht man aber, wenn die Anfangsbedingung nicht gleich Null ist, z. B. y(2)=1? Gibt es dann auch eine Integralfunktion?
Besten Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
|
|
| |
|
Hallo Martinius,
> [mm]y'=\frac{y}{x}+x[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zur Variation der Konstanten anhand
> obigen Beispiels.
>
> [mm]y_h=C*x[/mm]
>
> [mm]y=C(x)*x[/mm]
>
> [mm]y'=C'(x)*x+C(x)[/mm]
>
> Einsetzen in die DGL:
>
> [mm]C'(x)*x+C(x)=\frac{C(x)*x}{x}+x[/mm]
>
> [mm]C'(x)=1[/mm]
>
> Wenn ich nun bspw. die Anfangsbedingung y(1)=0 hätte, so
> könnte man schreiben
>
> [mm]y=x*\integral_{1}^{x}C'(t)\;dt=x*\integral_{1}^{x}1\;dt=x^2-1*x[/mm]
>
>
> Was macht man aber, wenn die Anfangsbedingung nicht gleich
> Null ist, z. B. y(2)=1? Gibt es dann auch eine
> Integralfunktion?
Ja, die gibt es.
Rechnet man obiges Beispiel aus, so führt das auf
[mm]y=x*\left(x+C_{2}\right)[/mm]
,wobei [mm]C_{2}[/mm] eine Integrationskonstante ist.
Hat man nun die Anfangsbedingung
[mm]y\left(\xi\right)=\eta[/mm]
So führt das auf [mm]C_{2}=\bruch{\eta}{\xi}-\xi[/mm]
Und dies führt auf die Integraldarstellung:
[mm]y=x*\integral_{\xi-\bruch{\eta}{\xi}}^{x}C'(t)\;dt=x*\integral_{\xi-\bruch{\eta}{\xi}}^{x}1\;dt[/mm]
>
> Besten Dank für eine Antwort.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
|
|
|
|
