Untermannigfaltigkeit beweisen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 12.06.2005 | | Autor: | Lessa |
Hallo,
haben die Menge T:= [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3} | z^{2}+( \wurzel{x^{2}+y^{2}}-R)^{2}=a^{2} \} [/mm] mit 0<a<R gegeben und sollen nun zeigen, dass T eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit von [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
Laut Vorlesung ist das eine U. wenn für alle x [mm] \in [/mm] T eine Umgebung V existiert und n-d Funktionen [mm] f_{i}:V \to \IR [/mm] so dass
1. T [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{x \in V | f(x)=0 \}
[/mm]
2. die gradienten grad [mm] f_{1}(x), [/mm] ...grad [mm] f_{n-d}(x) [/mm] sind linear unabhängig.
Dabei ist hier n=3 und d=2.
Also muss man nur eine Funktion finden, die die Bedingungen erfüllt. Damit ist doch aber die zweite Bedingung sofort erfüllt?
Reicht es jetzt, wenn ich eine Funktion f finde und als Umgebung ganz [mm] \IR^{3} [/mm] wähle?
Dazu habe ich mir überlegt, dass
T= [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3} | z^{2}+( \wurzel{x^{2}+y^{2}}-R)^{2}=a^{2} \}
[/mm]
= [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z= \wurzel{a^{2}-( \wurzel{x^{2}+y^{2}}-R)^{2}}} \in \IR^{3} \}
[/mm]
= [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^{3} |f(x,y,z)=0 \}
[/mm]
Wenn ich [mm] f:\IR^{3} \to \IR [/mm] definiere als [mm] f(x,y,z)=a^{2}-( \wurzel{x^{2}+y^{2}}-R)^{2}-z^{2}
[/mm]
Aber irgendwie mach ichs mir da vermutlich wiedermal ein wenig zu einfach oder? Kann mir irgendwer helfen, die Haken an der Aufgabe zu finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 13.06.2005 | | Autor: | qwert |
hallo
>Also muss man nur eine Funktion finden, die die Bedingungen
> erfüllt. Damit ist doch aber die zweite Bedingung sofort
> erfüllt?
nein der Gradient könnte Nullstellen in T haben.
qwert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Di 14.06.2005 | | Autor: | Lessa |
Der Gradient ist wenn ich das richtig sehe
[mm] \vektor{-2x(1-R(x^{2}+y^{2})^{- \bruch{1}{2}} \\ -2y(1-R(x^{2}+y^{2})^{- \bruch{1}{2}} \\ -2z }
[/mm]
Somit müsste es doch genügen, die Umgebung auf
[mm] \IR^{3} \backslash \vektor{0 \\ 0 \\ z} [/mm] einzuschränken. damit gäbe es keine Nullstelle des Gradienten und der Torus wäre immernoch vollständig in der Umgebung enthalten, da mit x=y=0 [mm] z^{2}+R^{2}=a^{2} \gdw [/mm] z= [mm] \wurzel{a^{2}-R^{2}} [/mm] da aber R>a nach Voraussetzung gibt es kein z in [mm] \IR^{3} [/mm] , das diese Bedingung erfüllt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mi 15.06.2005 | | Autor: | qwert |
Also in
[mm]\IR^{3} \backslash \vektor{0 \\ 0 \\ z}[/mm]
hat der Gradient eine Nullstelle z.B. [mm] \vektor{ R \\ 0 \\0} [/mm] entscheident ist ,das er auf dem Torus keine Nullstelle hat.
qwert
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