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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass f(x) = tan(x)-x im Intervall [mm] (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}) [/mm] umkehrbar ist. |
Hallo,
die Umkehrbarkeit wollte ich mit der Monotonie beweisen. Ich habe zunächst die Ableitung berechnet und dann habe ich die Ableitung nullgesetzt. f'(x) = [mm] tan^{2}(x)
[/mm]
Die Nullstellen der Ableitung sind n [mm] \pi [/mm] mit n [mm] \in \IZ. [/mm] Das bringt mir aber für die Monotonie nichts, was kann ich noch machen?
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass f(x) = tan(x)-x im Intervall
> [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})[/mm] umkehrbar ist.
>
>
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> Hallo,
>
> die Umkehrbarkeit wollte ich mit der Monotonie beweisen.
Gute Idee.
> Ich habe zunächst die Ableitung berechnet und dann habe
> ich die Ableitung nullgesetzt. f'(x) = [mm]tan^{2}(x)[/mm]
>
Auch die Ableitung ist korrekt. Nullstellen helfen nicht wirklich. Was genau muss für die erste Ableitung einer streng monoton steigenden Funktion gelten?*
Überprüfe selbst, dass das Kriterium hier erfüllt ist.
*Und Achtung: in der Schule lernt man oft, dass eine Funktion mit
f'(x)>0
streng monoton steigend ist. Das ist zwar nicht falsch, erfasst aber (lange) nicht alle streng monoton steigenden Funktionen. Weshalb?
Gruß, Diophant
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Hallo,
da fällt mir nur spontan ein, dass die Funktion injektiv sein muss.
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Hallo,
> da fällt mir nur spontan ein, dass die Funktion injektiv
> sein muss.
Streng genommen sogar bijektiv. Aber wenn man die Frage von Definitions- und Wertemengen vernachlässigt, dann reicht Injektivität.
Aber es geht viel einfacher: wenn für die Ableitung einer Funktion gilt, dass
[mm] f'(x)\ge{0}
[/mm]
ist, wobei Gleichheit nur an abzählbar vielen Stellen (das bedeutet: an einzelnen isolierten Stellen) auftreten darf, dann ist f streng monoton steigend. Jetzt wirst du mir Recht geben, dass deine Ableitung dieses Kriterium erfüllt.
Gruß, Diophant
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Hallo,
verstanden habe ich folgendes: die Ableitung wird nur an bestimmten Stellen =0, nämlich für x= 0
Was ich nicht verstanden habe: Im Intervall (-pi/2, pi/2) gilt aber f'(-1) = f'(1) = 2,4255
Die Ableitung ist somit nicht injektiv, aber f(x) ist immer noch injektiv. Wenn aber f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 gelten soll, die Ableitung streng monoton ist, dann muss sie (die erste Ableitung) doch auch injektiv sein,oder ?
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Hiho,
> verstanden habe ich folgendes: die Ableitung wird nur an
> bestimmten Stellen =0, nämlich für x= 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ich nicht verstanden habe: Im Intervall (-pi/2, pi/2)
> gilt aber f'(-1) = f'(1) = 2,4255
>
> Die Ableitung ist somit nicht injektiv, aber f(x) ist immer
> noch injektiv. Wenn aber f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 gelten soll, die
> Ableitung streng monoton ist, dann muss sie (die erste
> Ableitung) doch auch injektiv sein,oder ?
oder! Die Injektivität von $f'$ ist für die Monotonie von $f$ total irrelevant.
Nimm das triviale Beispiel $f(x) = x$, also die Identität, welche trivialerweise streng monoton ist. Für diese gilt $f'(x) = 1$ für alle [mm] $x\in \IR$.
[/mm]
Weniger injektiv geht ja schon gar nicht mehr 
Trotzdem ist $f(x) = x$ streng monoton steigend…
Gruß,
Gono
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Hallo,
ah ich verstehe, ja das macht Sinn :D
Was ich also aus der Teilaufgabe a) an Wissen mitnehmen kann: die Ableitung ist streng monoton, obwohl f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 (also inbesondere auch gleich 0) auch erfüllt ist, diese aber nur für die Stelle x=0 gilt, ist f'(x) trotzdem streng monoton. Das wusste ich nicht, bis jetzt.
Gut, die zweite Teilaufgabe lautet so:
Zeigen Sie, dass f(x) = tan(x)-x im Intervall [mm] (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}) [/mm] umkehrbar ist ( erledigt ) UND dass die Umkehrfunktion g(x) die Gleichung
g'(x) = [mm] (g(x)+x)^{-2} [/mm] erfüllt.
Die Umkehrfunktion von f(x) ist [mm] f^{-1}(x) [/mm] = arctanx-x
Ist das richtig ?
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Hallo,
> ah ich verstehe, ja das macht Sinn :D
>
> Was ich also aus der Teilaufgabe a) an Wissen mitnehmen
> kann: die Ableitung ist streng monoton, ...
Nein! Wenn die Ableitung nichtnegativ ist und nur an abzählbar vielen Stellen gleich Null wird, dann ist die zugehörige Funktion streng monoton steigend.
> obwohl f'(x) [mm]\ge[/mm] 0
> (also inbesondere auch gleich 0) auch erfüllt ist, diese
> aber nur für die Stelle x=0 gilt, ist f'(x) trotzdem
> streng monoton. Das wusste ich nicht, bis jetzt.
Es ist ja auch falsch. Vergesse es also ganz schnell wieder und beschäftige dich besser mit der Definition der (stengen) Monotonie. Wenn einem die klar ist und wenn man die Bedeutung der Ableitung kennt, kann man zu einer solchen (falschen) Schlussfolgerung nicht kommen.
> Gut, die zweite Teilaufgabe lautet so:
>
> Zeigen Sie, dass f(x) = tan(x)-x im Intervall
> [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})[/mm] umkehrbar ist ( erledigt
> ) UND dass die Umkehrfunktion g(x) die Gleichung
>
> g'(x) = [mm](g(x)+x)^{-2}[/mm] erfüllt.
>
>
> Die Umkehrfunktion von f(x) ist [mm]f^{-1}(x)[/mm] = arctanx-x
>
> Ist das richtig ?
Nein (wie kommst du darauf?). Der Witz an der Aufgabe ist doch der, dass die Umkehrfunktion existiert, jedoch nicht geschlossen darstellbar ist. Du hast also keinen Funktionsterm zur Verfügung, um obiges zu zeigen.
Mache dir hierzu einmal am Beispiel der Exponential- und der Logarithmusfunktion klar, welche geometrische Beziehung zwischen den Graphen von Funktion und Umkehrfunktion im kartesischen Koordinatensystem besteht. Daraus gewinnt man leicht eine Beziehung zwischen den Ableitungen (von Funktion und Umkehrfunktion). Und mit dieser Beziehung musst du arbeiten.
Gruß, Diophant
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Hallo,
habe gerade den Artikel bezüglich Monotonie auf Wikipedia durchgelesen, jetzt habe ich es verstanden.
Graphisch gesehen ist die Gerade von f(x) und die Gerade der Umkehrfunktion symmetrisch zur Geraden y = x
Ich kann hier also mit [mm] (f^{-1}(x)) =\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))} [/mm] arbeiten. Ich kann die geschlossene Umkehrfunktion nicht darstellen, aber wenn ich die "Formel" iterativ weiterführe, kann ich die Reihendarstellung dieser Umkehrfunktion mit Taylor darstellen, oder?
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Hallo,
> Graphisch gesehen ist die Gerade von f(x) und die Gerade
> der Umkehrfunktion symmetrisch zur Geraden y = x
Wenn du noch das Wort 'Geraden' durch 'Graphen' ersetzt (so hast du es ja vermutlich gemeint), dann stimmt das und genau das meinte ich.
> Ich kann hier also mit [mm](f^{-1}(x)) =\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]
> arbeiten.
Genau.
>Ich kann die geschlossene Umkehrfunktion nicht
> darstellen,
Du kannst die Umkehrfunktion nicht geschlossen darstellen. Die Reihenfolge einzelner Worte in einem Satz ist durchaus wichtig...
> aber wenn ich die "Formel" iterativ
> weiterführe, kann ich die Reihendarstellung dieser
> Umkehrfunktion mit Taylor darstellen, oder?
Ob man in einem solchen Fall irgendwie zu einer kompletten Taylorreihe kommen kann, wage ich mal stark zu bezweifeln. Verwechsle das nicht mit relativ gängigen Augabenstellungen, bei denen man ein Taylorpolynom von meist niedriger Ordnung angeben soll. Das wäre ja dann eine Näherung und hat mit der Darstellbarkeit der Umkehrfunktion nichts zu tun.
Gruß, Diophant
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Hallo,
sorry, bin heute bisschen neben der Spur.
Also wir haben f(x) = tan(x)- x
und f'(x) = [mm] tan^{2}(x)
[/mm]
Wir wissen nicht, wie die Umkehrfunktion aussieht, wir nennen sie g(x)
Wir wissen aber, wie g'(x) aussieht:
g'(x) = [mm] \bruch{1}{f'(g(x))}
[/mm]
f'(x) war ja f'(x) = [mm] tan^{2}(x)
[/mm]
Jetzt einsetzen:
g'(x) = [mm] \bruch{1}{tan^{2}(g(x))}
[/mm]
Kann ich hier noch was machen, um auf g'(x) = [mm] (g(x)+x)^{-2} [/mm] zu kommen, oder besser auf : g'(x) = [mm] \bruch{1}{(g(x)+x)^{2}}
[/mm]
Woher kommt das x dort überhaupt her ?
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Hallo,
es gilt
(tan(x)-x)+x=tan(x)
Jetzt sollte es aber klar sein.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 08.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
ja, das hatte ich auch, aber bei der Ableitung habe ich dann direkt zusammengefasst, sollte ich wohl nicht.
Alles klar, jetzt ist es klar, vielen Dank für die Antworten.
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