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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
| Aufgabe | Geben Sie die Taylorformel 4-ter Ordnung für f bei 0 an
f(x) = [mm] \bruch{x}{sin(x)} [/mm] |
Irgendwie komm ich da nicht weiter. Ich muss doch die Fkt. 4mal ableiten, aber das dauert und am Ende hab ich aber dann einen ewig langen Bruch und als Taylorformel kommt nur 0 raus. Stimmt das mit den Ableitungen oder gibt es da vielleicht noch eine elegantere Möglichkeit?
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Hallo SEBBI001,
> Geben Sie die Taylorformel 4-ter Ordnung für f bei 0 an
> f(x) = [mm]\bruch{x}{sin(x)}[/mm]
> Irgendwie komm ich da nicht weiter. Ich muss doch die Fkt.
> 4mal ableiten, aber das dauert und am Ende hab ich aber
> dann einen ewig langen Bruch und als Taylorformel kommt
> nur 0 raus. Stimmt das mit den Ableitungen oder gibt es da
> vielleicht noch eine elegantere Möglichkeit?
Die Taylorreihe ist von 0 verschieden.
Nun, eine andere Möglichkeit gibt es schon.
Benutze dazu die Taylorreihe von [mm]\sin\left(x\right)[/mm].
Dann steht da:
[mm]f\left(x\right=\bruch{x}{\sin\left(x\right)}=\bruch{x}{x-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}+O\left(x^{7}\right)}[/mm]
Für [mm]x\not=0[/mm] ergibt sich:
[mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{1-\bruch{x^{2}}{3!}+\bruch{x^{4}}{5!}+O\left(x^{6}\right)}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{1-\left(\bruch{x^{2}}{3!}-\bruch{x^{4}}{5!}+O\left(x^{6}\right)\right)}[/mm]
Für [mm]\vmat{\bruch{x^{2}}{3!}-\bruch{x^{4}}{5!}} < 1[/mm] ist das eine geometrische Reihe.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Di 19.05.2009 | | Autor: | SEBBI001 |
>
> Nun, eine andere Möglichkeit gibt es schon.
>
> Benutze dazu die Taylorreihe von [mm]\sin\left(x\right)[/mm].
>
> Dann steht da:
>
> [mm]f\left(x\right=\bruch{x}{\sin\left(x\right)}=\bruch{x}{x-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!}+O\left(x^{7}\right)}[/mm]
>
> Für [mm]x\not=0[/mm] ergibt sich:
>
> [mm]f\left(x\right)=\bruch{1}{1-\bruch{x^{2}}{3!}+\bruch{x^{4}}{5!}+O\left(x^{6}\right)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{1-\left(\bruch{x^{2}}{3!}-\bruch{x^{4}}{5!}+O\left(x^{6}\right)\right)}[/mm]
>
> Für [mm]\vmat{\bruch{x^{2}}{3!}-\bruch{x^{4}}{5!}} < 1[/mm] ist das
> eine geometrische Reihe.
Danke, aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Mein Matheprogramm hat mir die Taylorformel 1 + [mm] \bruch{x^2}{6} [/mm] + [mm] \bruch{7x^4}{360} [/mm] + [mm] O(x^5) [/mm] ausgegeben. Aber wie komm ich denn da drauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 19.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum benutzt du nicht den Tip mit der geom Reihe?
kannst du die Reihe hinschreiben, die zu 1/(1-q) gehoert?
Sonst muss du eben ein paar mal ableiten, -ist ne gute Uebung-
Gruss leduart
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