Tangente und Tangentialebene < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 02.07.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Die Funktion f sei gegeben durch
f: [mm] \IR² \to \IR:\vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto x_1³+x_2³+3x_1x_2
[/mm]
a) In welche Richtung wird ein Ball auf dem Graphen von f rollen, wenn man ihn im Punkt (1,1,5) loslässt?
b) Man bestimme die Tangente an die Höhenlinie
[mm] \{x_1,x_2 \in \IR²|f(x_1,x_2)=5\} [/mm] |
a) Die Richtung von -grad f(1,1) ist ja die der maximalen Abnahme (bzw. grad f(1,1) die des steilsten Anstiegs). Wie stelle ich dann die Tangente in diesem Punkt auf und muss ich das dazu überhaupt?
t: f(1,1)-xgrad(1,1)=5+ [mm] x_1*6+ x_2*6 [/mm] ?
b)Bestimme ich die Tangente hier analog nur mit veränderter Funktion f: [mm] \IR² \to \IR:\vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto x_1³+x_2³+3x_1x_2 [/mm] -5
|
|
| |
|
> Die Funktion f sei gegeben durch
> f: [mm]\IR² \to \IR:\vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto x_1³+x_2³+3x_1x_2[/mm]
>
> a) In welche Richtung wird ein Ball auf dem Graphen von f
> rollen, wenn man ihn im Punkt (1,1,5) loslässt?
>
> b) Man bestimme die Tangente an die Höhenlinie
> [mm]\{x_1,x_2 \in \IR²|f(x_1,x_2)=5\}[/mm]
> a) Die Richtung von
> -grad f(1,1) ist ja die der maximalen Abnahme (bzw. grad
> f(1,1) die des steilsten Anstiegs).
Dies ist natürlich nur die senkrechte Projektion des gesuchten Richtungsvektors auf die [mm] $x_1x_2$-Ebene. [/mm] Du benötigst aber einen Vektor, der in der Tangentialebene an den Graphen der Funktion [mm] $f(x_1,x_2)$ [/mm] liegt, dessen Projekion zudem gleichsinnig-parallel zu [mm] $-\mathrm{grad}f(1,1)$ [/mm] ist.
> Wie stelle ich dann die
> Tangente
Der Graph [mm] $u=f(x_1,x_2)$ [/mm] von $f$ ist eine Fläche: "die" Tangente ist in einem solchen Falle nicht zu haben. Du kannst allenfalls die Gleichung der Tangentialebene im Punkt $(1,1,f(1,1))$ bestimmen.
> in diesem Punkt auf und muss ich das dazu
> überhaupt?
>
> t: f(1,1)-xgrad(1,1)=5+ [mm]x_1*6+ x_2*6[/mm] ?
Das verstehe ich nicht so ganz. Allgemein wäre die Gleichung der Tangentialebene im Punkt $(1,1,f(1,1))$ an die Fläche [mm] $u=f(x_1,x_2)$:
[/mm]
[mm]T:\; u=f(1,1)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(1,1)\cdot (x_1-1)+\frac{\partial f}{\partial x_2}(1,1)\cdot (x_2-1)[/mm]
Nun könntest Du also versuchen, die ("Rückwärts"-)Projektion von [mm] $-\mathrm{grad}f$ [/mm] in die Tangentialebene $T$ zu bestimmen: dies wäre dann der gesuchte Richtungsvektor.
> b)Bestimme ich die Tangente hier analog nur mit veränderter
> Funktion f: [mm]\IR² \to \IR:\vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto x_1³+x_2³+3x_1x_2[/mm]
> -5
Ich verstehe Deine Überlegung, die Dich zu diesem Vorgehen führt, leider nicht. Jede Tangente an eine in der Fläche [mm] $u=f(x_1,x_2)$ [/mm] liegende Kurve (wie etwa die fragliche Höhenlinie) durch den Punkt $(1,1,f(1,1))$ muss in der unter a) bestimmten Tangentialebene liegen. Schneide also die Ebene $u=5$, in der die Höhenlinie liegen muss mit $T$: dies ergibt einen Richtungsvektor der Tangente an die Höhenlinie in diesem Punkt.
Du könntest natürlich auch versuchen, die Höhenlinie zu parametrisieren (dürfte in diesem Falle kaum möglich sein) und dann diese Parameterdarstellung der Kurve abzuleiten, um einen Richtungsvektor der Tangente zu erhalten.
|
|
|
|
