Surj., Inj., bij., Umkehrabb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Di 10.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Seien a,b,c [mm] \in \IR. [/mm] Betrachten wir die R-lineare Abbildung f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] definiert durch
[mm] f(e_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{b \\ -c \\ 1}
[/mm]
[mm] f(e_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{a \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] f(e_{3}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
wobei [mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] die Standardbasis bezeichnet.
a) Ist f surjektiv, injektiv, bijektiv?
b) Falls f bijektiv, bestimmte die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}
[/mm]
a |
Hallo,
Ich finde die Aufgabe irgendwie merkwürdig gestellt. Theoretisch würde es doch ausreichen, wenn ich in b) die Umkehrabbildung bestimmen würde. Dann erledigt sich die a) doch von selbst?
Aber zur Übung möchte ich das dennoch mal kleinschrittig machen.
Für surjektiv müsste ich zeigen:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IR^{3} \exists [/mm] x [mm] \in \IR^{3} [/mm] : f(x) = y
Wie ich das bei "normalen" Funktionen mache, ist mir auch völlig klar. nur ist das ja [mm] \IR^{3} [/mm] und da komm ich schon was durcheinander. Mein größtes Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie ich die drei Angaben miteinander in Verbindung bringen soll.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Danke schonmal.
Gruß SolRakt
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> Seien a,b,c [mm]\in \IR.[/mm] Betrachten wir die R-lineare Abbildung
> f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm] definiert durch
>
> [mm]f(e_{1})[/mm] = [mm]\vektor{b \\
-c \\
1}[/mm]
> [mm]f(e_{2})[/mm] = [mm]\vektor{a \\
1 \\
0}[/mm]
>
> [mm]f(e_{3})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> wobei [mm]e_{1}, e_{2}, e_{3}[/mm] die Standardbasis bezeichnet.
>
> a) Ist f surjektiv, injektiv, bijektiv?
>
> b) Falls f bijektiv, bestimmte die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm]
> a
> Hallo,
>
> Ich finde die Aufgabe irgendwie merkwürdig gestellt.
> Theoretisch würde es doch ausreichen, wenn ich in b) die
> Umkehrabbildung bestimmen würde. Dann erledigt sich die a)
> doch von selbst?
Ja. Aber die wollen es in der Reihenfolge a), b). Du musst ja erst zeigen "es lohnt sich nach der Umkehrabbildung zu suchen"
>
> Aber zur Übung möchte ich das dennoch mal kleinschrittig
> machen.
>
> Für surjektiv müsste ich zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in \IR^{3} \exists[/mm] x [mm]\in \IR^{3}[/mm] : f(x) = y
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie ich das bei "normalen" Funktionen mache, ist mir auch
> völlig klar. nur ist das ja [mm]\IR^{3}[/mm] und da komm ich schon
> was durcheinander. Mein größtes Problem liegt darin, dass
> ich nicht weiß, wie ich die drei Angaben miteinander in
> Verbindung bringen soll.
Das geht analog deiner anderen Aufgabe. Deine Funktion f hat als Abbildungsmatrix die Matrix A. Dann gilt
[mm]A*\pmat{|&|&|\\
e_1&e_2&e_3\\
|&|&|}=\pmat{b&a&1\\
-c&1&0\\
1&0&0}\gdw A=\pmat{b&a&1\\
-c&1&0\\
1&0&0}[/mm]
Injektivität (indirekt) : Annahme es gibt zwei Vektoren [mm] $x\neq y\in \IR^3$ [/mm] mit $Ax=Ay$ Was folgt daraus ...?
Surjektivität:
Da musst du genau zeigen, was du oben geschrieben hast. Am besten ist, wenn du einfach angibst, wie man von einem gegeben y auf x bei Ax=y kommt.
generell:
Natürlich kannst du sagen [mm] $det(A)=-1\Rightarrow$ [/mm] die Abbildungsmatrix ist invertierbar daher ist f biijektiv. 
Aber dann sind dir die "schönen" Injektivitäts- und Surjektivitätsbeweise entgangen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 10.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Auch hier danke sehr für deine Antwort.
Am besten fang ich einfach mal nur mit Injektivität an, damit es übersichtlich bleibt.
Also, ich nehme an, dass x [mm] \not= [/mm] y. Für Inj. müsste dann auch Ax [mm] \not= [/mm] Ay gelten. Ich nehme also Ax=Ay an und führe es auf einen Widerspruch.
Also:
[mm] \pmat{ bx_{1} & ax_{2} & x_{3} \\ -cx_{1} & x_{2} & 0 \\ x_{1} & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{ by_{1} & ay_{2} & y_{3} \\ -cy_{1} & y_{2} & 0 \\ y_{1} & 0 & 0} [/mm]
So, aber [mm] x_{1} [/mm] ist nach Vor. [mm] \not= y_{1} [/mm] (siehe 3. zeile der Matrízen) Kann ich jetzt folgern, dass somit Ax nicht gleich Ay sein kann? Also reicht das aus?
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> Auch hier danke sehr für deine Antwort.
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> Am besten fang ich einfach mal nur mit Injektivität an,
> damit es übersichtlich bleibt.
>
> Also, ich nehme an, dass x [mm]\not=[/mm] y. Für Inj. müsste dann
> auch Ax [mm]\not=[/mm] Ay gelten. Ich nehme also Ax=Ay an und führe
> es auf einen Widerspruch.
>
> Also:
>
> [mm]\pmat{ bx_{1} & ax_{2} & x_{3} \\
-cx_{1} & x_{2} & 0 \\
x_{1} & 0 & 0}[/mm]
> = [mm]\pmat{ by_{1} & ay_{2} & y_{3} \\
-cy_{1} & y_{2} & 0 \\
y_{1} & 0 & 0}[/mm]
>
> So, aber [mm]x_{1}[/mm] ist nach Vor. [mm]\not= y_{1}[/mm] (siehe 3. zeile
> der Matrízen) Kann ich jetzt folgern, dass somit Ax nicht
> gleich Ay sein kann? Also reicht das aus?
Das ist super! Daran hatte ich gar nicht gedacht und hätte viel umständlicher argumentiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Di 10.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr :)
Bei der Surj. müsste ich doch die inverse Matrix zu A, also [mm] A^{-1} [/mm] bestimmen. Aber existiert die denn? Ich hab folgendes gerechnet:
[mm] \pmat{ b & a & 1 \\ -c & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] | [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Zeilen getauscht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -c & 1 & 0 \\ b & a & 1 } [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Bisschen umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 } [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & c \\ 1 & 0 & -b }
[/mm]
Wieder Zeilen getauscht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] | [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -b \\ 0 & 1 & c }
[/mm]
So, aber bei der letzten Zeile stehen ja auf der linken Seite drei Nullen. Was kann ich da denn machen? danke sehr. gruß SolRakt
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Hi,
ich nutze die Macht von Maple
[mm]A^{-1}= \left( \begin {array}{ccc} 0&0&1\\
\noalign{\medskip}0&1&c\\
\noalign{\medskip}1&-a&-b-ac\end {array} \right)[/mm]
> Danke sehr :)
>
> Bei der Surj. müsste ich doch die inverse Matrix zu A,
> also [mm]A^{-1}[/mm] bestimmen. Aber existiert die denn? Ich hab
> folgendes gerechnet:
>
> [mm]\pmat{ b & a & 1 \\
-c & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 }[/mm] | [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Zeilen getauscht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
-c & 1 & 0 \\
b & a & 1 }[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Bisschen umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & \red{0} & 0 \\
0 & a & 1 }[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & c \\
1 & 0 & -b }[/mm]
Da müsste doch ne 1 stehen . Oder?
>
> Wieder Zeilen getauscht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & a & 1 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] | [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -b \\
0 & 1 & c }[/mm]
>
> So, aber bei der letzten Zeile stehen ja auf der linken
> Seite drei Nullen. Was kann ich da denn machen? danke sehr.
> gruß SolRakt
>
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