Supremumsaussage < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 24.11.2004 | | Autor: | i-n |
Also wir haben folgende Aufgabe gestellt bekommen. Vom logischen her ist die Aufgabe klar, ich könnte auch durch einen mehr oder minder großen Roman das ganze erklären, nur ist das ja eigentlich kein mathematischer Beweis. Nun also meine Bitte, mir irgendeine Richtung, Ansatz oder sonstiges für einen eindeutigen Beweis zu geben:
Beweisen Sie folgende [mm] \varepsilon [/mm] - Charakteristik des Supremums:
Sei M [mm] \in \IR [/mm] eine nichtleere, nach oben beschränkte Menge und s [mm] \in \IR. [/mm] Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) s = sup M
(b) ( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : x [mm] \le [/mm] s ) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M : x > s - [mm] \varepsilon [/mm] )
Vielen Dank schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo i-n,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Beweisen Sie folgende [mm]\varepsilon[/mm] - Charakteristik des
> Supremums:
> Sei M [mm]\in \IR[/mm] eine nichtleere, nach oben beschränkte
> Menge und s [mm]\in \IR.[/mm] Dann sind folgende Aussagen
> äquivalent:
> (a) s = sup M
> (b) ( [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x [mm]\le[/mm] s ) [mm]\wedge[/mm] ( [mm]\forall \varepsilon[/mm]
> > 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x > s - [mm]\varepsilon[/mm] )
Hier stellt sich die Frage, wie Ihr denn das Supremum definiert habt? Für die Definition gibt es nämlich mehrere Möglichkeiten (und das, was du zeigen willst, wird auch manchmal als Definition benutzt).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Sa 27.11.2004 | | Autor: | i-n |
Also wir haben das Supremum wie folgt definiert:
s = supM [mm] \gdw
[/mm]
( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M, t [mm] \in \IR [/mm] : x [mm] \le [/mm] s [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le [/mm] t) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \forall [/mm] t,s [mm] \in \IR [/mm] : s [mm] \le [/mm] t)
Die [mm] \varepsilon [/mm] - Charakteristik ist ja logisch, aber wie beweist man sie?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo i-n,
> Also wir haben das Supremum wie folgt definiert:
> s = supM [mm]\gdw
[/mm]
> ( [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M, t [mm]\in \IR[/mm] : x [mm]\le[/mm] s [mm]\wedge[/mm] x [mm]\le[/mm] t)
> [mm]\wedge[/mm] ( [mm]\forall[/mm] t,s [mm]\in \IR[/mm] : s [mm]\le[/mm] t)
Könntest du das bitte nochmal nachprüfen, ich werde aus dieser Definition nicht schlau.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Sa 27.11.2004 | | Autor: | i-n |
Also, wir haben es wie folgt definiert (diesmal aus dem Skript abgeschrieben):
s = sup M [mm] \gdw
[/mm]
(1) s ist obere Schranke
(2) Wenn t obere Schranke von M, dann gilt s [mm] \le [/mm] t
Das war's auch schon...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Do 02.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo i-n,
> Beweisen Sie folgende [mm]\varepsilon[/mm] - Charakteristik des
> Supremums:
> Sei M [mm]\in \IR[/mm] eine nichtleere, nach oben beschränkte
> Menge und s [mm]\in \IR.[/mm] Dann sind folgende Aussagen
> äquivalent:
> (a) s = sup M
> (b) ( [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x [mm]\le[/mm] s ) [mm]\wedge[/mm] ( [mm]\forall \varepsilon[/mm]
> 0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x > s - [mm]\varepsilon[/mm] )
[mm] $s=\sup [/mm] M$ hattet ihr also definiert als
(1) s ist obere Schranke
(2) Wenn t obere Schranke von M, dann gilt $s [mm] \le [/mm] t$.
Äquivalenzen bestehen aus zwei Implikationen, die einzeln zu zeigen sind.
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $s=\sup [/mm] M$.
Zu zeigen ist nun $( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M\ :\ x [mm] \le [/mm] s ) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0\ [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M\ :\ x > s - [mm] \varepsilon [/mm] )$
Die erste Bedingung bedeutet gerade, dass s eine obere Schranke ist und ist damit erfüllt.
Den zweiten Teil zeige ich indirekt:
Angenommen, es existiert ein [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] so dass für alle [mm] $x\in [/mm] M$ gilt: [mm] $x\le s-\varepsilon$.
[/mm]
Dann ist [mm] $s-\varepsilon$ [/mm] eine obere Schranke von M und es gilt nach Voraussetzung (2), dass [mm] $s\le s-\varepsilon$ $\gdw$ $0\le-\varepsilon$ $\gdw$ $\varepsilon\le [/mm] 0$. Widerspruch.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $s\in\IR$.
[/mm]
Es gelte $( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M\ :\ x [mm] \le [/mm] s ) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0\ [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M\ :\ x > s - [mm] \varepsilon [/mm] )$.
Zu zeigen ist nun, dass (1) s eine obere Schranke ist und (2) Wenn t obere Schranke von M, dann gilt [mm] $s\le [/mm] t$.
(1) ist wieder mal klar, da dies ja gerade der erste Teil der Voraussetzung ist.
(2): Sei t eine obere Schranke von M. Zu zeigen ist, dass [mm] $s\le [/mm] t$.
Indirekter Beweis: Angenommen, $s>t$.
Dann existiert kein [mm] $x\in [/mm] M$ mit [mm] $t
Setze nun [mm] $\varepsilon:=s-t$. [/mm] Nach Voraussetzung existiert ein [mm] $x\in [/mm] M$, so dass [mm] $x>s-\varepsilon$ $\gdw$ [/mm] $x>s-(s-t)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x>t$. Widerspruch.
So, ich hoffe, dass dir dieser Beweis trotz der Übertfälligkeit noch nützlich war.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 02.12.2004 | | Autor: | i-n |
Vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe.
Inzwischen hat sich das Problem auch schon gelöst und falls andere Leute die Antwort interessiert, poste ich sie hier. Sie läuft analog zu der Lösung von Marc, nutzt allerdings die Kontrapostion statt eines Widerspruches.
Beweis:
(a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b): Kontraposition
Es gelte [mm] \neg [/mm] (b), also: ( [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M:x [mm] \le [/mm] s) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M:s- [mm] \varepsilon \ge [/mm] x)
z.z. [mm] \neg [/mm] (a), also s [mm] \not= [/mm] supM
1. Fall: ( [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M:x [mm] \le [/mm] s). Also ist s keine obere Schranke für M, damit ist s [mm] \not= [/mm] supM.
2. Fall: ( [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M:s- [mm] \varepsilon \ge [/mm] x). Wir wählen ein solches [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann gilt also: s- [mm] \varepsilon \ge [/mm] x für jedes x [mm] \in [/mm] M. Das heißt, dass (s- [mm] \varepsilon [/mm] ) obere Schranke für M ist. Da (s- [mm] \varepsilon [/mm] )<s, kann also s nicht kleinste obere Schranke sein.
(b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a) Kontrapostion:
Es gelte [mm] \neg [/mm] (a), also s [mm] \not= [/mm] supM.
1. Fall: s ist nicht obere Schranke. Dann ist offenbar ( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x [mm] \le [/mm] s) verletzt.
2. Fall: s ist nicht kleinste obere Schranke: Dann existiert also eine obere Schranke s' für M mit s'<s. Wir wählen ein solches.
z.z. [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M:s- [mm] \varepsilon \ge [/mm] x
Setze [mm] \varepsilon [/mm] := s-s'>0
Sei x [mm] \in [/mm] M. Dann gilt: s- [mm] \varepsilon [/mm] = s-(s-s')=s' [mm] \ge [/mm] x
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