www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenEinführung Analysis (Schule)Summen- und Produktzeichen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Einführung Analysis (Schule)" - Summen- und Produktzeichen
Summen- und Produktzeichen < Einführung Analysis < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Einführung Analysis (Schule)"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Summen- und Produktzeichen: Lösung der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Do 05.07.2012
Autor: zebramann

Hallo Leute,

ich habe angefangen, aus persönlichem Interesse her Mathe zu lernen und bin noch beim elementaren Rechnen.
Eine Aufgabe habe ich der Lösung im Buch zufolge falsch gelöst.

[]Ich habe die Aufgabe als Bild hochgeladen
Es geht darum, die fehlenden Werte in die Fragezeichen einzutragen.

Unterhalb des großen Pi-Zeichens steht i=0, oberhalb des Zeichens n. Dazu ist der Index [mm] x^i. [/mm]
Da bei dem Produktzeichen i=0 angegeben ist, müsste daraus folgern: [mm] x^0 [/mm] = 1.

Von der Musterlösung bin ich insofern abgewichen, als ich 0*i als Index beim Summenzeichen geschrieben habe.

Mein Grundgedanke war: auch bei der Umformung muss [mm] x^0 [/mm] rauskommen. Doch der Lösung zufolge käme doch stattdessen x^(0+1+2+3+(n-1)+n) raus, oder nicht?

Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Summen- und Produktzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 05.07.2012
Autor: ChopSuey

Hi Zebramann,

auf dem Bild steht bloß die Gleichung

$ [mm] \displaystyle \produkt_{i=0}^n{x^i} [/mm] = [mm] x^{ \displaystyle\sum_{i=0}^ni} [/mm] $

Aber weder Fragezeichen, noch eine Musterlösung.
Tipp' doch bitte die Aufgabe(nstellung) hier ab, dann wissen wir, wonach genau gefragt ist.

Anmerkung: Der (Lauf)Index ist hier jeweils $ i = 0,...,n $

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Summen- und Produktzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Do 05.07.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Leute,
>  
> ich habe angefangen, aus persönlichem Interesse her Mathe
> zu lernen und bin noch beim elementaren Rechnen.
>  Eine Aufgabe habe ich der Lösung im Buch zufolge falsch
> gelöst.
>  
> []Ich habe die Aufgabe als Bild hochgeladen
>  
> Es geht darum, die fehlenden Werte in die Fragezeichen
> einzutragen.
>  
> Unterhalb des großen Pi-Zeichens steht i=0, oberhalb des
> Zeichens n. Dazu ist der Index [mm]x^i.[/mm]

nicht [mm] $\mathbf{\red{x^i}}$ [/mm] ist der Index, sondern [mm] $\textbf{\blue{i}}$ [/mm] ist der Index. [mm] $x^i$ [/mm] ist die Zahl [mm] $x\,$ [/mm] hoch dem Index [mm] $i\,.$ [/mm] Also [mm] $x^i$ [/mm] ist für $i=0$ gerade [mm] $x^0=1\,,$ $x^i$ [/mm] ist für $i=5$ gerade [mm] $x^5\,.$ [/mm] Für [mm] $x=2\,$ [/mm] und [mm] $i=5\,$ [/mm] wäre also [mm] $x^i=2^5=32\,.$ [/mm]

>  Da bei dem Produktzeichen i=0 angegeben ist, müsste
> daraus folgern: [mm]x^0[/mm] = 1.
>  
> Von der Musterlösung bin ich insofern abgewichen, als ich
> 0*i als Index beim Summenzeichen geschrieben habe.
>
> Mein Grundgedanke war: auch bei der Umformung muss [mm]x^0[/mm]
> rauskommen. Doch der Lösung zufolge käme doch stattdessen
> x^(0+1+2+3+(n-1)+n) raus, oder nicht?

Ich versteh' die Frage nicht. Die Gleichung, die da steht, ist korrekt. Es ist im Prinzip die altbekannte Regel, die da angewendet wird:
Bei einem Produkt über endlich viele Potenzen mit gleicher Basis ist das Ergebnis die Basis hoch der Summe der Exponenten - kurz formelmäßig, ohne auf genaue Voraussetzungen einzugehen:
[mm] $$\produkt_{k=1}^n x^{a_k}\;=\;\displaystyle x^{\sum_{\ell=1}^n a_\ell}\,.$$ [/mm]

Beispiele: [mm] $x^{3/2}*x^{7/2}=x^{10/2}=x^5$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$) oder [mm] $2^{3}*2^{12}=2^{3+12}=2^{15}\,.$ [/mm]

Und man kann hier auch [mm] $\produkt_{i=0}^n x^i=\produkt_{i=\textbf{\red{1}}}^n x^i$ [/mm] und [mm] $\sum_{i=0}^n i=\sum_{i=\textbf{\red{1}}}^n i\;\;(\;=\;n(n+1)/2)\;$ [/mm] ausnutzen.

Denn:
Das leere Produkt ist als [mm] $1\,$ [/mm] und die leere Summe als [mm] $0\,$ [/mm] definiert, daher stimmen die Formeln für [mm] $n=0\,.$ [/mm] Weiter beachte man, dass [mm] $r^0=1\,$ [/mm] für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] (man definiert meist halt auch [mm] $0^0:=1\,,$ [/mm] bzw. würde hier mit dieser Definition arbeiten!)

Für jedes natürliche $n > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\produkt_{i=0}^n x^i=x^0*\produkt_{i=1}^n x^i=1*\produkt_{i=1}^n x^i=\produkt_{i=1}^n x^i$$ [/mm]
und
[mm] $$\summe_{i=0}^n i=0+\summe_{i=1}^n i=0+\summe_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}\,,$$ [/mm]
wobei das allerletzte Gleichheitszeichen "der kleine Gauß" ist!

P.S.
Kann es sein, dass Dir die Bedeutung des Produktzeichens nicht ganz klar ist? Und auch die des Summenzeichens? Vielleicht mal zur Aufklärung bzw. zur Erinnerung nochmal alles am Summenzeichen verdeutlicht:
[mm] $$\sum_{k=1}^n a_k$$ [/mm]
bedeutet nichts anderes als [mm] $a_1+a_2+...+a_n\,,$ [/mm] was man auch (da man hier endlich vielen Summanden hat) schreiben könnte als
[mm] $$\sum_{k \in \{p \in \IN: \;p \le n\}}a_k$$ [/mm]
oder
[mm] $$\sum_{k \in \{1,...,n\}}a_k\,.$$ [/mm]
(Beachte, dass bei mir [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}\,,$ [/mm] also die Null nicht zu [mm] $\IN$ [/mm] gehören soll.)
(Die letzten beiden Schreibweisen sind wohldefiniert, da es bei einer Summe über endlich viele reelle (oder auch komplexe) Zahlen nicht auf die Reihenfolge der Summation ankommt - beachte allg. Assoziativ- und auch das allg. Kommutativgesetz!)

Analoges für das Produkt.

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Einführung Analysis (Schule)"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]