Spektrum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 25.04.2010 | | Autor: | jack21 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und V ein n-dim. K-Vektorraum mit n [mm] \in \IN. [/mm] Weiter sei [mm] \phi \in [/mm] End(V) mit [mm] \phi [/mm] ^{m}=0 für ein m [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \le [/mm] n.
Zeigen Sie [mm] Spek(\phi)={0}. [/mm] Wann ist [mm] \phi [/mm] diagonalisierbar? |
Hallo,
ich hab Probleme mit der o.g. Aufgabe:
Mein Ansatz bisher:
[mm] \phi=\phi^{2} \rightarrow \phi^{m}=\phi=0
[/mm]
[mm] Det(\phi-a\*id_{v})=0 \gdw Det(\phi)=0
[/mm]
bzgl. diagonalisierbar: falls es eine invertierbare Matrix T [mm] \in K^{n \* n} [/mm] gibt, so dass [mm] T^{-1}AT [/mm] diagonal
da aber [mm] Det(\phi)=0, [/mm] ist [mm] \phi [/mm] nicht invertierbar, also ist [mm] \phi [/mm] nicht diagonalisierbar.
Ist das so richtig? Oder hab ich da was falsch verstanden?
grüße jack
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei K ein Körper und V ein n-dim. K-Vektorraum mit n [mm]\in \IN.[/mm]
> Weiter sei [mm]\phi \in[/mm] End(V) mit [mm]\phi[/mm] ^{m}=0 für ein m [mm]\in \IN,[/mm]
> m [mm]\le[/mm] n.
> Zeigen Sie [mm]Spek(\phi)={0}.[/mm] Wann ist [mm]\phi[/mm]
> diagonalisierbar?
> Hallo,
> ich hab Probleme mit der o.g. Aufgabe:
>
> Mein Ansatz bisher:
> [mm]\phi=\phi^{2} \rightarrow \phi^{m}=\phi=0[/mm]
>
> [mm]Det(\phi-a\*id_{v})=0 \gdw Det(\phi)=0[/mm]
Da gehts aber drunter und drüber ! Völlig unverständlich.
>
> bzgl. diagonalisierbar: falls es eine invertierbare Matrix
> T [mm]\in K^{n \* n}[/mm] gibt, so dass [mm]T^{-1}AT[/mm] diagonal
> da aber [mm]Det(\phi)=0,[/mm] ist [mm]\phi[/mm] nicht invertierbar, also ist
> [mm]\phi[/mm] nicht diagonalisierbar.
>
> Ist das so richtig? Oder hab ich da was falsch verstanden?
Ich denke ja.
Zunächst zum spektrum: Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenvert von [mm] \phi. [/mm] Es ex. also ein x [mm] \in [/mm] V mit x [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] x.
Wegen [mm] \phi^m=0 [/mm] ist dann: 0= [mm] \phi^m(x) [/mm] = [mm] \lambda^mx. [/mm] Damit ist [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \phi [/mm] hat also nur den Eigenwert 0
Diagonalisierbarkeit: [mm] \phi [/mm] ist diagonalisierbar [mm] \gdw [/mm] V besitzt eine Basis aus Eigenvektoren von [mm] \phi [/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> grüße jack
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 26.04.2010 | | Autor: | jack21 |
soweit habe ich das jetzt verstanden.
wenn [mm] \phi^{m}=0 [/mm] folgt daraus [mm] \phi=0 [/mm] und weil [mm] \phi [/mm] nur den Eigenwert 0 besitzt, ist [mm] \phi [/mm] nicht diagonaliesierbar, weil kein Eigenvektor ex.
Stimmt das?
Wenn ja, dann ist [mm] \phi [/mm] nur diagonalisierbar, wenn [mm] \phi \ne [/mm] 0, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:29 Di 27.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> soweit habe ich das jetzt verstanden.
>
> wenn [mm]\phi^{m}=0[/mm] folgt daraus [mm]\phi=0[/mm]
Unfug !!!
> und weil [mm]\phi[/mm] nur den
> Eigenwert 0 besitzt, ist [mm]\phi[/mm] nicht diagonaliesierbar, weil
> kein Eigenvektor ex.
Unfug !
[mm] \phi [/mm] besitzt den Eigenwert 0, Sei E der zugeh. Eigenraum, also E = [mm] kern(\phi).
[/mm]
Dann: [mm] \phi [/mm] ist diagonalisierbar [mm] \gdw [/mm] E=V [mm] \gdw \phi=0
[/mm]
FREd
> Stimmt das?
> Wenn ja, dann ist [mm]\phi[/mm] nur diagonalisierbar, wenn [mm]\phi \ne[/mm]
> 0, oder?
|
|
|
|
