Semilineare Wellengleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich muss eine Arbeit über Semilineare Wellengleichungen als Teil eines Seminars über Stochastische Partielle Differentialgleichungen.
Das Problem ist, dass ich noch nie eine Vorlesung über Partielle Differentialgleichungen oder Funktionalanalysis gehört habe.
Ich möchte mich aber in das Thema selbständig einarbeiten.
Nun habe ich folgendes vor mir:
Seien $f(s,x,t)$ und [mm] $\sigma(s,x,t)$ [/mm] Zufallsfelder die von den Paramentern [mm] $s\in\mathbf{R}$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] D$ abhängen. Wir betrachten
das Anfangs-Randwertproblem für eine stochastische Wellengleichung wie folgt
[mm] $\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=(\kappa\Delta-\alpha)u+f(u,x,t)+\dot{M}(u,x,t)$
[/mm]
[mm] $x\in [/mm] D$, [mm] $t\in(0,T]$
[/mm]
[mm] $Bu$|$_{\partial D}=0$
[/mm]
$u(x,0)=g(x),$ [mm] $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$
[/mm]
wo
[mm] $\dot{M}(s,x,t)=\sigma(s,x,t)\dot{W}(x,t)$
[/mm]
Mein Problem ist, dass ich die Bestandsteile dieser PDE nicht nachvollziehen kann.
Welche Rollen spielen [mm] $(\kappa\Delta-\alpha)u$, [/mm] $f(u,x,t)$, [mm] $\dot{M}(u,x,t)$ [/mm] ? Inwiefern wird damit eine Wellengleichung charakterisiert?
Ich bin sehr dankbar für Literaturvorschläge, Links oder ähnliches Material, welches mir hilft mit dem Thema besser zurecht zu kommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Habe es aber vor und werde es hier dann aktualisieren.
Gruß
KN
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Hallo KN,
naja, ich kann Dir auch keine umfangreiche Einführung in solche PDGs geben, dafür ist ja schliesslich auch das Seminar gedacht!
Ganz grob kann man die verschiedenen Terme der Gleichung so charakterisieren: der erste Summand [mm] $(\kappa\Delta-\alpha)u$ [/mm] ist der lineare Teil und auch der Teil mit den Ableitungen höchster Ordnung (räumlich) in Form des Laplace-Operators. Der Laplace Operator in Verbindung mit dem Zeitableitungsterm macht die Gleichung zu einer Wellengleichung.
Semilinear, also insbesondere auch nichtlinear, wird die Gleichung nun durch die Terme $f$ und $M$, wo $u$ als Argument für nichtlineare Funktionen auftritt. Der Unterschied von semilinearen zu quasilinearen und voll nichtlinearen Gleichungen besteht hier darin, dass nur die Funktion $u$ selbst (und keine Ableitungen von $u$) in solch einem nichtlinearen Term vorkommt.
Was ist denn mit der Seminar-Literatur? Hilft die Dir nicht bei der Einarbeitung ins Thema?
Gruss,
Matthias
> Hallo!
>
> Ich muss eine Arbeit über Semilineare Wellengleichungen
> als Teil eines Seminars über Stochastische Partielle
> Differentialgleichungen.
> Das Problem ist, dass ich noch nie eine Vorlesung über
> Partielle Differentialgleichungen oder Funktionalanalysis
> gehört habe.
> Ich möchte mich aber in das Thema selbständig
> einarbeiten.
>
> Nun habe ich folgendes vor mir:
>
> Seien [mm]f(s,x,t)[/mm] und [mm]\sigma(s,x,t)[/mm] Zufallsfelder die von den
> Paramentern [mm]s\in\mathbf{R}[/mm] und [mm]x\in D[/mm] abhängen. Wir
> betrachten
> das Anfangs-Randwertproblem für eine stochastische
> Wellengleichung wie folgt
>
> [mm]\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=(\kappa\Delta-\alpha)u+f(u,x,t)+\dot{M}(u,x,t)[/mm]
>
> [mm]x\in D[/mm], [mm]t\in(0,T][/mm]
>
> [mm]Bu[/mm]|[mm]_{\partial D}=0[/mm]
>
> [mm]u(x,0)=g(x),[/mm] [mm]\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)[/mm]
>
> wo
>
> [mm]\dot{M}(s,x,t)=\sigma(s,x,t)\dot{W}(x,t)[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich die Bestandsteile dieser PDE
> nicht nachvollziehen kann.
> Welche Rollen spielen [mm](\kappa\Delta-\alpha)u[/mm], [mm]f(u,x,t)[/mm],
> [mm]\dot{M}(u,x,t)[/mm] ? Inwiefern wird damit eine Wellengleichung
> charakterisiert?
>
> Ich bin sehr dankbar für Literaturvorschläge, Links oder
> ähnliches Material, welches mir hilft mit dem Thema besser
> zurecht zu kommen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Habe es aber vor und werde es hier
> dann aktualisieren.
>
> Gruß
> KN
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Hallo MatthiasKr!
Vielen Dank für die Mühe die Du Dir gemacht hast und für die hilfreichen Erläuterungen.
Die Literatur für dieses Thema ist das Buch "Stochastic Partial Differential Equations" von Pao-Liu Chow. Das Problem ist, dass ich nicht viel mit dem Buch anfagen kann und ich gerne Literatur nutzen würde, die mehr für einen Einsteiger gedacht ist.
Kannst Du mir hier etwas empfehlen?
Gruß
KN
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Hallo KN,
ich könnte Dir zwei Dinge empfehlen: zunächst, falls Du es nicht bereits getan hast, schau Dir doch einführende Bücher zum Thema PDG an. Die meisten behandeln auch die klassische lineare Wellengleichung. Ein gutes Verständnis der linearen Gleichung ist mit sicherheit hilfreich, wenn Du die nichtlinearen Varianten verstehen willst.
Ansonsten habe ich gesehen, dass in 'Partial Differential Equations' von Lawrence C. Evans ein Abschnitt zu diesem Thema ist. Ist glaub ich auch nicht direkt ein Buch für Anfänger, aber vielleicht nicht ganz so spezialisiert wie Dein Seminar-Buch.
Gruss
Matthias
> Hallo MatthiasKr!
>
> Vielen Dank für die Mühe die Du Dir gemacht hast und für
> die hilfreichen Erläuterungen.
> Die Literatur für dieses Thema ist das Buch "Stochastic
> Partial Differential Equations" von Pao-Liu Chow. Das
> Problem ist, dass ich nicht viel mit dem Buch anfagen kann
> und ich gerne Literatur nutzen würde, die mehr für einen
> Einsteiger gedacht ist.
> Kannst Du mir hier etwas empfehlen?
>
> Gruß
> KN
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