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Reihendarstellung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 So 13.12.2009
Autor: Stefan-auchLotti

Aufgabe
Beweisen Sie mit den Reihendarstellungen von [mm] $\cos^2 [/mm] z$ und [mm] $\sin^2 [/mm] z$:

[mm] $\cos^2 z-\sin^2 z=\cos [/mm] 2z$

Hallo, ihr alle,

Die Reihendarstellungen lauten ja [mm] $\sin^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}$ [/mm] und [mm] $\cos^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}$. [/mm]

Dann ergibt sich

$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!} [/mm] $

[mm] $=\frac{1}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!} [/mm] $

Indexverschiebung:

[mm] $=\frac{1}{2}+\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!} [/mm] $

Das ist doch richtig bis hier, oder? Aber wie gehts weiter? Irgendwie muss ich ja zu [mm] $\cos [/mm] 2z$ kommen, wovon ich meiner Meinung nach weit entfernt bin.

Hat keiner einen kleinen Tipp?

Vielen Dank, Stefan.



        
Bezug
Reihendarstellung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Mo 14.12.2009
Autor: MathePower

Hallo Stefan-auchLotti,

> Beweisen Sie mit den Reihendarstellungen von [mm]\cos^2 z[/mm] und
> [mm]\sin^2 z[/mm]:
>  
> [mm]\cos^2 z-\sin^2 z=\cos 2z[/mm]
>  Hallo, ihr alle,
>  
> Die Reihendarstellungen lauten ja [mm]\sin^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
> und [mm]\cos^2 z=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\frac{1}{2}*\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}[/mm].
>  
> Dann ergibt sich
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
>  
> [mm]=\frac{1}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k}}{\left(2k\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
>  
> Indexverschiebung:
>  
> [mm]=\frac{1}{2}+\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}-\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\left(2z\right)^{2k+2}}{\left(2k+2\right)!}[/mm]
>  
> Das ist doch richtig bis hier, oder? Aber wie gehts weiter?


Ja, das ist bis hier richtig. [ok]


> Irgendwie muss ich ja zu [mm]\cos 2z[/mm] kommen, wovon ich meiner
> Meinung nach weit entfernt bin.
>  
> Hat keiner einen kleinen Tipp?


Fasse jetzt die zwei erhaltenen Reihen zu einer zusammen.


>  
> Vielen Dank, Stefan.
>  

>


Gruss
MathePower  

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