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Forum "Folgen und Reihen" - Reihe = 0 => Summanden = 0
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Reihe = 0 => Summanden = 0: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:15 Do 15.04.2010
Autor: Merle23

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Es sind unendlich viele, zeitabhängige Werte [mm] $0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\ldots\to\infty$ [/mm] gegeben, für die man die Asymptotik [mm] $\lambda_i \sim C\cdot i^\frac{2}{m} \text{ mit } [/mm] C>0, [mm] m\in\IN$ [/mm] hat.

Nach einiger Rechnerei bin ich auf die Gleichung [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s} [/mm] = 0$ gekommen, welche für alle s mit [mm]0
Daraus würde ich jetzt gerne [mm] $\frac{d}{dt} \lambda_i [/mm] = 0$ für alle i folgern (was mir auch recht plausibel erscheint).

Dummerweise will das nicht funktionieren.

Es gibt bisher folgende Ergebnisse:

Der Grenzübergang [mm] s\to0 [/mm] liefert [mm]\sum_{i\ge0}\frac{d}{dt}\lambda_i = 0[/mm], d.h. [mm] \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0} [/mm] ist eine Nullfolge.

Zusammen mit der Asymptotik für die [mm] \lambda_i [/mm] erhalten wir dann, das die Reihe [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm] sogar absolut konvergiert.

Was man auch noch machen könnte ist beliebig oft nach s ableiten. Dann erhält man Gleichungen der Form [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\cdot e^{-\lambda_i\cdot s} [/mm] = 0$ für alle n, und mit dem Grenzübergang [mm] s\to0 [/mm] dann die Gleichungen [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n [/mm] = 0.$

Aus [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm] für alle n, erhält man das die Folge [mm] \left(\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\right)_{i\ge0} [/mm] eine Nullfolge ist für alle n, und da die [mm] \lambda_i [/mm] wie eine Potenz von i gegen unendlich streben, erhält man das die Folge [mm] \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0} [/mm] schneller als jede Potenz von i gegen Null laufen muss.

Somit hat man dann die absolute Konvergenz der Reihen [mm] $\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n [/mm] = 0$ für alle [mm] n\ge0. [/mm]

Dies alles hat aber bisher alles nicht wirklich weitergeholfen.

LG, Alex

        
Bezug
Reihe = 0 => Summanden = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Fr 16.04.2010
Autor: Walde

Hi Alex,

ich schicke mal vorweg, dass ich nicht alle deine Rechnungen und Folgerungen nachgerechnet habe, deshalb stelle ich die Frage mal nur auf teilweise beantwortet, damit sie noch jemand ankuckt.

> Hallo,
>  
> ich habe folgendes Problem:
>  
> Es sind unendlich viele, zeitabhängige Werte
> [mm]0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\ldots\to\infty[/mm] gegeben, für
> die man die Asymptotik [mm]\lambda_i \sim C\cdot i^\frac{2}{m} \text{ mit } C>0, m\in\IN[/mm]
> hat.
>  
> Nach einiger Rechnerei bin ich auf die Gleichung
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s} = 0[/mm]
> gekommen, welche für alle s mit [mm]0
> gilt.
>  
> Daraus würde ich jetzt gerne [mm]\frac{d}{dt} \lambda_i = 0[/mm]
> für alle i folgern (was mir auch recht plausibel
> erscheint).
>  
> Dummerweise will das nicht funktionieren.
>  
> Es gibt bisher folgende Ergebnisse:
>  
> Der Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] liefert
> [mm]\sum_{i\ge0}\frac{d}{dt}\lambda_i = 0[/mm], d.h.
> [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm] ist eine
> Nullfolge.
>  
> Zusammen mit der Asymptotik für die [mm]\lambda_i[/mm] erhalten wir
> dann, das die Reihe [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
> sogar absolut konvergiert.

Du sagst du hast

[mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
konvergiert absolut. Meinst du absolut gegen 0? (Das hab ich jetzt auf die Schnelle nicht nachvollzogen.)

Das wäre schön, denn dann hättest du ja:

[mm]\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}|=\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)|e^{-\lambda_i \cdot s}=0[/mm]

Dann könntest du sagen: Da alle Summanden nicht-negativ sind, die Summe aber Null, müssen alle Summanden gleich Null sein. Und da [mm] exp\not=0, [/mm] folgt die gewünschte Behauptung.

Alternativ würde es auch genügen, wenn die [mm] \lambda_i [/mm] monoton steigend in t wären (dann wären ihre Ableitungen immer nicht-negativ), aber das konnte ich mit dem was hier steht nicht erkennen.

>  
> Was man auch noch machen könnte ist beliebig oft nach s
> ableiten. Dann erhält man Gleichungen der Form
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\cdot e^{-\lambda_i\cdot s} = 0[/mm]
> für alle n, und mit dem Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] dann die
> Gleichungen [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0.[/mm]
>  
> Aus [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> für alle n, erhält man das die Folge
> [mm]\left(\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\right)_{i\ge0}[/mm]
> eine Nullfolge ist für alle n, und da die [mm]\lambda_i[/mm] wie
> eine Potenz von i gegen unendlich streben, erhält man das
> die Folge [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm]
> schneller als jede Potenz von i gegen Null laufen muss.
>  
> Somit hat man dann die absolute Konvergenz der Reihen
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> für alle [mm]n\ge0.[/mm]
>  
> Dies alles hat aber bisher alles nicht wirklich
> weitergeholfen.
>  
> LG, Alex

Viel Erfolg noch, LG Walde

Bezug
                
Bezug
Reihe = 0 => Summanden = 0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:01 Fr 16.04.2010
Autor: Merle23


> Hi Alex,
>  
> ich schicke mal vorweg, dass ich nicht alle deine
> Rechnungen und Folgerungen nachgerechnet habe, deshalb
> stelle ich die Frage mal nur auf teilweise beantwortet,
> damit sie noch jemand ankuckt.
>  
> > Hallo,
>  >  
> > ich habe folgendes Problem:
>  >  
> > Es sind unendlich viele, zeitabhängige Werte
> > [mm]0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\ldots\to\infty[/mm] gegeben, für
> > die man die Asymptotik [mm]\lambda_i \sim C\cdot i^\frac{2}{m} \text{ mit } C>0, m\in\IN[/mm]
> > hat.
>  >  
> > Nach einiger Rechnerei bin ich auf die Gleichung
> > [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s} = 0[/mm]
> > gekommen, welche für alle s mit [mm]0
> > gilt.
>  >  
> > Daraus würde ich jetzt gerne [mm]\frac{d}{dt} \lambda_i = 0[/mm]
> > für alle i folgern (was mir auch recht plausibel
> > erscheint).
>  >  
> > Dummerweise will das nicht funktionieren.
>  >  
> > Es gibt bisher folgende Ergebnisse:
>  >  
> > Der Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] liefert
> > [mm]\sum_{i\ge0}\frac{d}{dt}\lambda_i = 0[/mm], d.h.
> > [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm] ist eine
> > Nullfolge.
>  >  
> > Zusammen mit der Asymptotik für die [mm]\lambda_i[/mm] erhalten wir
> > dann, das die Reihe [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
> > sogar absolut konvergiert.
>  
> Du sagst du hast
>
> [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}[/mm]
> konvergiert absolut. Meinst du absolut gegen 0? (Das hab
> ich jetzt auf die Schnelle nicht nachvollzogen.)
>
> Das wäre schön, denn dann hättest du ja:
>  
> [mm]\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}|=\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)|e^{-\lambda_i \cdot s}=0[/mm]
>
> Dann könntest du sagen: Da alle Summanden nicht-negativ
> sind, die Summe aber Null, müssen alle Summanden gleich
> Null sein. Und da [mm]exp\not=0,[/mm] folgt die gewünschte
> Behauptung.
>  
> Alternativ würde es auch genügen, wenn die [mm]\lambda_i[/mm]
> monoton steigend in t wären (dann wären ihre Ableitungen
> immer nicht-negativ), aber das konnte ich mit dem was hier
> steht nicht erkennen.
>  

Leider gilt beides a-priori nicht, also es konvergiert weder [mm]\sum_{i\ge0} |\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)e^{-\lambda_i \cdot s}|[/mm] gegen Null, noch sind die Ableitungen der [mm] \lambda_i [/mm] alle positiv.

Genau das will ich ja irgendwie herleiten.

> >  

> > Was man auch noch machen könnte ist beliebig oft nach s
> > ableiten. Dann erhält man Gleichungen der Form
> > [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\cdot e^{-\lambda_i\cdot s} = 0[/mm]
> > für alle n, und mit dem Grenzübergang [mm]s\to0[/mm] dann die
> > Gleichungen [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0.[/mm]
>  
> >  

> > Aus [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> > für alle n, erhält man das die Folge
> >
> [mm]\left(\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n\right)_{i\ge0}[/mm]
> > eine Nullfolge ist für alle n, und da die [mm]\lambda_i[/mm] wie
> > eine Potenz von i gegen unendlich streben, erhält man das
> > die Folge [mm]\left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)_{i\ge0}[/mm]
> > schneller als jede Potenz von i gegen Null laufen muss.
>  >  
> > Somit hat man dann die absolute Konvergenz der Reihen
> > [mm]\sum_{i\ge0} \left(\frac{d}{dt}\lambda_i\right)\lambda_i^n = 0[/mm]
> > für alle [mm]n\ge0.[/mm]
>  >  
> > Dies alles hat aber bisher alles nicht wirklich
> > weitergeholfen.
>  >  
> > LG, Alex
>
> Viel Erfolg noch, LG Walde

Danke, Alex

Bezug
        
Bezug
Reihe = 0 => Summanden = 0: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 19.04.2010
Autor: matux

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