Quot(Z[X]/f(X))=Q[X]/f(X) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f(X) ein irreduzibles Polynom mit Grad >0.
Beweisen Sie, dass [mm] Quot(\mathbb{Z[X]}/f(X))=\mathbb{Q(X)}/f(X). [/mm] |
So, zuerst einmal bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe. [mm] \mathbb{Z[X]}/f(X)) [/mm] ist die Menge aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, die dann durch ein fixes f(X) dividiert werden.
Wenn wir beispielsweise f(X)=X nehmen, dann wäre [mm] \mathbb{Z}[[X]/f(X)) [/mm] die Menge aller Polynome [mm] \frac{a_{0}}{X}+a_{1}+a_{2}X^{1}+a_{3}X^{2}+... [/mm] und [mm] Quot(\mathbb{Z[X]}/f(X))) [/mm] wäre die Menge aller Doppelbrüche [mm] \frac{\frac{p}{X}}{\frac{q}{X}}, [/mm] wobei p und q aus [mm] \mathbb{Z}[X] [/mm] sind und [mm] q\neq [/mm] 0. Ist das richtig so? Das kommt mir komisch vor, da kann man doch immer durch f(X), hier X kürzen?
Bitte um Bestätigung oder Erklärung, danach würde ich weitere Fragen posten.
Lg Herr von Omikron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Sa 20.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei f(X) ein irreduzibles Polynom mit Grad >0.
> Beweisen Sie, dass
> [mm]Quot(\mathbb{Z[X]}/f(X))=\mathbb{Q(X)}/f(X).[/mm]
Ich glaube, die Aufgabenstellung lautet leicht anders, und zwar [mm]Quot(\mathbb{Z[X]}/f(X))=\mathbb{Q[X]}/f(X).[/mm] (Beachte die eckigen Klammern hinter dem [mm] $\IQ$.)
[/mm]
Ausserdem: woher kommt $f(X)$ und wo soll es irreduzibel sein? Ist es aus [mm] $\IZ[X]$ [/mm] und dort irreduzibel (das wuerde am meisten Sinn machen)?
> So, zuerst einmal bin ich mir nicht sicher, ob ich die
> Aufgabe richtig verstanden habe. [mm]\mathbb{Z[X]}/f(X))[/mm] ist
> die Menge aller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten,
> die dann durch ein fixes f(X) dividiert werden.
Nein. Gemeint ist [mm] $\mathbb{Z}[X]$ [/mm] modulo dem von $f(X)$ erzeugten Ideal. Normalerweise sollte man das mit Klammern schreiben (also [mm] $\IZ[X]/(f(X))$ [/mm] oder [mm] $\IZ[X]/\langle [/mm] f(X) [mm] \rangle$ [/mm] oder wie ihr das erzeugte Ideal normalerweise notiert).
> Wenn wir beispielsweise f(X)=X nehmen, dann wäre
> [mm]\mathbb{Z}[[X]/f(X))[/mm] die Menge aller Polynome
> [mm]\frac{a_{0}}{X}+a_{1}+a_{2}X^{1}+a_{3}X^{2}+...[/mm] und
Nein, in dem Fall waere [mm] $\IZ[X]/(f(X))$ [/mm] gleich [mm] $\{ a + (X) \mid a \in \IZ \} \cong \IZ$.
[/mm]
> [mm]Quot(\mathbb{Z[X]}/f(X)))[/mm] wäre die Menge aller
> Doppelbrüche [mm]\frac{\frac{p}{X}}{\frac{q}{X}},[/mm] wobei p und
> q aus [mm]\mathbb{Z}[X][/mm] sind und [mm]q\neq[/mm] 0. Ist das richtig so?
Nein.
LG Felix
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Vielen Dank für deine Antwort. Mit der Klammer in der Angabe hast du natürlich recht, es muss [mm] \mathbb{Q}[X]/f(X) [/mm] heißen.
Auf das mit dem Ideal bin ich nicht draufgekommen, eben weil mir da eine runde Klammer fehlte. Vielen Dank für deinen Hinweis!
Ich hab mir mal überlegt, aus welchen Elementen der Quotienenkörper links besteht. Er müsste aus allen Ausdrücken der Form [mm] \frac{p+(f(X))}{q+(f(X))} [/mm] bestehen, wobei p und q Polynome aus [mm] \mathbb{Z}[X] [/mm] sind, [mm] q\neq [/mm] 0 die höchstens Grad n-1 haben (wenn f(X) Grad n hat), weil man bei allen höhergradigen Polynomen ein anderer Repräsentant genommen werden kann, indem man ein entsprechendes Vielfaches von f(X) addiert.
Nun möchte ich also zeigen, dass [mm] \frac{p+(f(X))}{q+(f(X))} [/mm] mit oben beschriebenen Polynomen auch in [mm] \mathbb{Q}[X]/(f[X]) [/mm] ist, also dass das Quotientenpolynom rationale Koeffizienten hat und dass die Division "aufgeht", richtig?
Dabei komme ich aber nicht weiter, wie kann ich denn das zeigen?
Bitte um eure Hilfe!
Lg Herr_von_Omikron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 25.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank für deine Antwort. Mit der Klammer in der
> Angabe hast du natürlich recht, es muss [mm]\mathbb{Q}[X]/f(X)[/mm]
> heißen.
>
>
> Auf das mit dem Ideal bin ich nicht draufgekommen, eben
> weil mir da eine runde Klammer fehlte. Vielen Dank für
> deinen Hinweis!
Bitte!
> Ich hab mir mal überlegt, aus welchen Elementen der
> Quotienenkörper links besteht. Er müsste aus allen
> Ausdrücken der Form [mm]\frac{p+(f(X))}{q+(f(X))}[/mm] bestehen,
> wobei p und q Polynome aus [mm]\mathbb{Z}[X][/mm] sind, [mm]q\neq[/mm] 0 die
> höchstens Grad n-1 haben (wenn f(X) Grad n hat), weil man
> bei allen höhergradigen Polynomen ein anderer
> Repräsentant genommen werden kann, indem man ein
> entsprechendes Vielfaches von f(X) addiert.
Genau.
> Nun möchte ich also zeigen, dass [mm]\frac{p+(f(X))}{q+(f(X))}[/mm]
> mit oben beschriebenen Polynomen auch in
> [mm]\mathbb{Q}[X]/(f[X])[/mm] ist, also dass das Quotientenpolynom
> rationale Koeffizienten hat und dass die Division
> "aufgeht", richtig?
Das kannst du machen. Es geht aber auch einfacher, wenn du die universelle Eigenschaft des Quotientenkoerpers verwendest  Dafuer musst du zeigen, dass man [mm] $\IZ[X]/(f(X))$ [/mm] als Teilmenge von [mm] $\IQ[X]/(f(X))$ [/mm] auffassen kann. Also hast du einen injektiven Ringhomomorphismus [mm] $\IZ[X]/(f(X)) \to \IQ[X]/(f(X))$ [/mm] in den Koerper [mm] $\IQ[X]/(f(X))$ [/mm] (warum ist es einer?), und diesen kannst du fortsetzen zu einen Koerperhomomorphismus [mm] $Quot(\IZ[X]/(f(X))) \to \IQ[X]/(f(X))$.
[/mm]
Damit hast du diese Inklusion bereits erledigt. Die andere Inklusion ist ziemlich einfach...
> Dabei komme ich aber nicht weiter, wie kann ich denn das
> zeigen?
Da $f$ irreduzibel sind sind $q$ und $f(X)$ teilerfremd. In [mm] $\IQ[X]$ [/mm] gibt es also $g, h [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] mit $g f + h q = 1$. In [mm] $\IQ[X]$ [/mm] gilt also $(h + (f(X))) [mm] \cdot [/mm] (q + (f(X))) = 1 + (f(X))$. Ueberlege dir, dass [mm] $\frac{p + (f(X))}{q + (f(X))}$ [/mm] dem Element $p h + (f(X))$ in [mm] $\IQ[X]/(f(X))$ [/mm] entsprechen muss.
LG Felix
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