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Forum "Zahlentheorie" - Quadratischer Rest mod p
Quadratischer Rest mod p < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratischer Rest mod p: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 So 19.05.2019
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei p eine Primzahl mit p>5. Zeige, dass die Gleichung [mm] x^2\equiv [/mm] 5(mod p)genau eine Lösung [mm] x\in \IZ [/mm] besitzt, wenn [mm] p\equiv \pm [/mm] 1(mod 5) ist.


Hallo,

Ist [mm] x\in \IZ [/mm] eine Lösung von [mm] x^2\equiv [/mm] 5 (mod p), dann ist es äquivalent dazu dass [mm] \bigg(\bruch{5}{p}\bigg)=1, [/mm] d.h. 5 ist quadratische Rest modulo p [mm] \gdw \bigg(\bruch{p}{5}\bigg)=1 \gdw p\equiv \pm [/mm] 1 (mod 5).

Ist das richtig?

        
Bezug
Quadratischer Rest mod p: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 So 19.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal: Die Formulierung deiner Frage ist falsch.

> Zeige, dass die Gleichung $ [mm] x^2\equiv [/mm] $ 5(mod p)genau eine Lösung $ [mm] x\in \IZ [/mm] $ besitzt, wenn $ [mm] p\equiv \pm [/mm] $ 1(mod 5) ist.

Bspw hat die Lösung für p=11=1 mod 5 zwei Lösungen.

Die Aufgabe soll wohl lauten:

> Zeige, dass die Gleichung $ [mm] x^2\equiv [/mm] $ 5(mod p) genau dann eine Lösung $ [mm] x\in \IZ [/mm] $ besitzt, wenn $ [mm] p\equiv \pm [/mm] $ 1(mod 5) ist.


> Ist [mm]x\in \IZ[/mm] eine Lösung von [mm]x^2\equiv[/mm] 5 (mod p), dann ist
> es äquivalent dazu dass [mm]\bigg(\bruch{5}{p}\bigg)=1,[/mm]

Warum sollte das gelten?

Gruß,
Gono

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Bezug
Quadratischer Rest mod p: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:09 Mo 20.05.2019
Autor: questionpeter

Das habe aus einem  Skript entnommen, denn da heißt es wenn es eine Lösung für [mm] x^2\equiv [/mm] a (mod p)  gibt dann heißt es das a ein quadratischer Rest modulo p ist, also [mm] \bigg(\bruch{a}{p}\bigg)=1.(legendre [/mm] Symbol)



Bezug
                        
Bezug
Quadratischer Rest mod p: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mi 22.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Quadratischer Rest mod p: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:34 Di 21.05.2019
Autor: questionpeter

Kann mir da niemand helfen bzw einen Tipp geben?

Bezug
                
Bezug
Quadratischer Rest mod p: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:47 Mi 22.05.2019
Autor: hippias

Das sieht gut aus. Begründe Deine Rechnung vielleicht genauer.

Bezug
                
Bezug
Quadratischer Rest mod p: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Do 23.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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