Pascalsches Dreieck < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 11.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Werte im Pascalschen Dreieck zur Mitte hin zunehmen. Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie:
a) Für alle j in [mm] \IN [/mm] mit 0 < j [mm] \le \bruch{n}{2} [/mm] ist [mm] \vektor{n \\ j} [/mm] > [mm] \vektor{n \\ j - 1}.
[/mm]
a) Für alle j in [mm] \IN [/mm] mit [mm] \bruch{n}{2} [/mm] < j [mm] \le [/mm] n ist [mm] \vektor{n \\ j} [/mm] > [mm] \vektor{n \\ j +1}.
[/mm]
Bemerkung: Eventuell ist es hilfreich, gerde und ungerade Zhalen (n) getrennt zu betrachten. |
Hallo,
zur obigen Aufgabe:
Wie lässt sich soetwas beweisen? Geht das mit vollständiger Induktion nach j, da ja alle 0 < j [mm] \le \bruch{n}{2}, [/mm] bzw. [mm] \bruch{n}{2} [/mm] < j [mm] \le [/mm] n einen Bereich darstellt, in dem man für jedes j beweisen muss, dass die Aussage stimmt. Allerdings bringt mich das nicht arg viel weiter, genau so wenig, wie die obenstehende Bemerkung.
Kann mir jemand eventl. eine Kleine Hilfestellung geben?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
vollständige Induktion ist nicht nötig. Benutze die Definition des Binomialkoeffizienten für [mm]\vektor{n \\ j}[/mm] und [mm]\vektor{n \\ j-1}[/mm] und mache die Brüche gleichnamig.
Gruß,
Phrygian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 11.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
Danke für die schnelle Antwort. Welche Definition ist gemeint?
Die allgemeine: Also die mit dem Produkt oder die spezialisierte für n > j mit den Fakultäten?
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Bitte 
Für [mm] n\ge j [/mm] gilt die Definition [mm]\vektor{n \\ j} := \bruch{n!}{j!*(n-j)!}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 11.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
So, ich habe dein Tipp befolgt:
[mm] \vektor{n \\ j} [/mm] > [mm] \vektor{n \\ j-1}
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{j!*(n-j)!} [/mm] > [mm] \bruch{n!}{(j-1)!*(n-j-1)!}
[/mm]
So jetzt habe ich eigentlich 2 Probleme: a) Wie bekomme ich die Brüche gleichnamig und b) wie wird das dann für das ganze intervall bewiesen?
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Es ist [mm] $\vektor{n \\ j-1}=$ \bruch{n!}{(j-1)!\cdot{}(n-(j-1))!} [/mm] =$ [mm] \bruch{n!}{(j-1)!\cdot{}(n-j+1)!} [/mm] $!
Zu a): Setze mal für n und j irgendwelche Zahlen ein, vielleicht siehst du es dann.
Zu b): Wenn du die Ungleichung für ein beliebiges j zwischen 0 und n/2 zeigen kannst, dann hast du die Ungleichung für den ganzen Bereich gezeigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 11.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
Nochmal eine Kleinigkeit: Warum genügt es, das Ganze nur für ein j zu beweisen. Sonst muss man das doch auch für alles beweisen.
D.h., dass ich z.B. für j = 4 einsetzen könnte und hätte es dann bewiesen? Und n bleibt n? Oder bekommt n auch ein Wert zugewiesen?
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Nein, für j kannst du nicht eine bestimmte Zahl einsetzen, da es dann nicht beliebig wäre.
Das n ist dir ja vorgegeben (auch wenn nicht als konkrete Zahl). Über das j darfst du nichts voraussetzen, außer daß es zwischen 0 und n/2 liegt (insbesondere darfst du also nicht behaupten, j sei gleich 4). Wenn du die Behauptung für ein beliebiges j zwischen 0 und n/2 zeigen kannst, dann hast du die Behauptung für alle Zahlen zwischen 0 und n/2 gezeigt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:22 So 11.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
Meine mögliche Antwort:
Im Prinzip kann man ja auch folgendes schreiben (wenn man nur die Nennen der Brüche betrachtet):
j!(n-j)! < (j-1)!(n-j+1)!
j!(n-j)! < (j-1)! * (n-j)! * (n-j+1)
j! < (j-1)!*(n-j+1)
j! < j! * (n+1)
da n [mm] \in \IN: [/mm] rechte Seite größer als linke (n>1).
daraus folgt, dass [mm] \vektor{n \\j} [/mm] > [mm] \vektor{n\\j-1}
[/mm]
Stimmt das so?
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Das ist nicht schlecht. Was du aufgeschrieben hast, sind Überlegungen, die dir helfen, den Beweis zu finden.
Den eigentlichen Beweis würde ich so aufschreiben:
Sei j derart, daß [mm]0
[mm] \begin{align}
2j\le n \\
&\Rightarrow 2j0 wegen j-1>= 0)}\\
&\Rightarrow j! < (j-1)!*(n-j+1)\\
&\Rightarrow j!(n-j)! < (j-1)! * (n-j)! * (n-j+1) && \text{(hier musst du wieder begründen, weshalb man mit (n-j)! multiplizieren darf)}\\
&\Rightarrow j!(n-j)! < (j-1)!(n-j+1)!\\
&\Rightarrow \bruch{n!}{j!(n-j)!}> \bruch{n!}{(j-1)!(n-j+1)!}
\end{align}
[/mm]
> Meine mögliche Antwort:
>
> Im Prinzip kann man ja auch folgendes schreiben (wenn man
> nur die Nennen der Brüche betrachtet):
> j!(n-j)! < (j-1)!(n-j+1)!
> j!(n-j)! < (j-1)! * (n-j)! * (n-j+1)
> j! < (j-1)!*(n-j+1)
> j! < j! * (n+1)
> da n [mm]\in \IN:[/mm] rechte Seite größer als linke (n>1).
> daraus folgt, dass [mm]\vektor{n \\j}[/mm] > [mm]\vektor{n\\j-1}[/mm]
> Stimmt das so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mo 12.11.2007 | | Autor: | dk-netz |
Hallo,
nochmal danke für Hilfe!
Noch ne kleine Frage zu b) Die lässt sich ja nach dem gleichen Schema machen wie a)! Ich habe nur ein kleines Problem mit dem Intervall! Wie kommt man da vom Intervall zur ersten Zeile der Ungleichung?
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> Hallo,
> nochmal danke für Hilfe!
Gern geschehen!
> Noch ne kleine Frage zu b) Die lässt sich ja nach dem
> gleichen Schema machen wie a)!
Ja.
>Ich habe nur ein kleines
> Problem mit dem Intervall! Wie kommt man da vom Intervall
> zur ersten Zeile der Ungleichung?
Wenn ich deine Frage richtig verstehe, hilft dir vielleicht das weiter:
[mm]\bruch{n}{2}< j \Rightarrow n< 2j [/mm](usw.)
Ich glaube, du musst zuerst folgende Fälle unterscheiden:
1. j=n
2. j<n
Im 1. Fall erhält man die Ungleichung unmittelbar aus der Definition des Bin.koeffizienten.
Im 2. Fall gehst du wie bei der ersten Aufgabe vor (insbesondere kannst du in einem Schritt mit (n-j-1)! multiplizieren, da [mm] $n-j-1\ge [/mm] 0$ ist).
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