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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Do 21.05.2009 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | geg.: [mm] f_{a}(x)=a^2*x^2-a*ln(x), [/mm] a>0 und x>0
Für welchen Wert von a liegt der Extremalpunkt von [mm] f_{a} [/mm] auf der x-Achse? |
Hallo erstmal und Danke für euer Interesse!!
Ich habe zuerst die beiden Ableitungen bestimmt:
[mm] f´_{a}(x)=2*a^2*x-\bruch{a}{x}
[/mm]
[mm] f´´_{a}(x)=2*a^2+\bruch{a}{x^2}
[/mm]
Danach die Extremalstelle bestimmt:
f´_{a}(x)=0
[mm] 0=2*a^2*x-\bruch{a}{x}// [/mm] Erweitert
[mm] 0=\bruch{2*a^2*x^2-a}{x}// [/mm] Nur Zähler betrachtet/Ausklammern
[mm] 0=2*a^2(x^2-\bruch{1}{2a}// [/mm] Faktorisiert mittels 3.Binom
[mm] 0=2*a^2*(x+\bruch{1}{\wurzel{2a}})*(x-\bruch{1}{\wurzel{2a}})
[/mm]
Mögliche Extremstelle ist nur [mm] \bruch{1}{\wurzel{2a}} [/mm] da x>0
Überprüfung in f´´_{a}(x):
[mm] f´´_{a}(\bruch{1}{\wurzel{2a}})= 2*a^2+0,5
[/mm]
[mm] 2*a^2+0,5>0 [/mm] und somit Tiefstelle von [mm] f_{a}
[/mm]
Berechnung des Funktionswertes der Tiefstelle:
[mm] f_{a}(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=a^2*(\bruch{1}{\wurzel{2a}})^2-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})
[/mm]
[mm] =\bruch{a}{2}-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})
[/mm]
Und hier habe ich mein erstes Problem. Auf dem Lösungsbogen ist als Funktionswert [mm] \bruch{a}{2}(1+ln(2a)) [/mm] angegeben.
Respektive habe ich Probleme, den gesuchten Wert von a zu bestimmen!
[mm] 0=\bruch{a}{2}-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})
[/mm]
[mm] a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=\bruch{a}{2}/ [/mm] /a (Verlustumformung??)
[mm] ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2a}}=e^{0,5} [/mm] / ( = [mm] )^2 [/mm] (Gewinnumformung??)
[mm] \bruch{1}{2a}=e [/mm] / *2
[mm] \bruch{1}{a}=2e/Kehrwerte
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{2e}
[/mm]
Angegebener Lösungswert ist hier [mm] a=\bruch{1}{2*e}, [/mm] was übereinstimmen würde, wenn meine Umformungen richtig sind.
Kann ich den Ausdruck [mm] -ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}}) [/mm] zu +ln(2a) umschreiben?? Und wenn ja, warum??? Bin momentan ein wenig ratlos!
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Hallo jaktens,
> geg.: [mm]f_{a}(x)=a^2*x^2-a*ln(x),[/mm] a>0 und x>0
>
> Für welchen Wert von a liegt der Extremalpunkt von [mm]f_{a}[/mm]
> auf der x-Achse?
> Hallo erstmal und Danke für euer Interesse!!
>
> Ich habe zuerst die beiden Ableitungen bestimmt:
>
> [mm]f´_{a}(x)=2*a^2*x-\bruch{a}{x}[/mm]
> [mm]f´´_{a}(x)=2*a^2+\bruch{a}{x^2}[/mm]
>
> Danach die Extremalstelle bestimmt:
>
> f´_{a}(x)=0
> [mm]0=2*a^2*x-\bruch{a}{x}//[/mm] Erweitert
> [mm]0=\bruch{2*a^2*x^2-a}{x}//[/mm] Nur Zähler
> betrachtet/Ausklammern
> [mm]0=2*a^2(x^2-\bruch{1}{2a}//[/mm] Faktorisiert mittels 3.Binom
>
> [mm]0=2*a^2*(x+\bruch{1}{\wurzel{2a}})*(x-\bruch{1}{\wurzel{2a}})[/mm]
>
> Mögliche Extremstelle ist nur [mm]\bruch{1}{\wurzel{2a}}[/mm] da
> x>0
>
> Überprüfung in f´´_{a}(x):
> [mm]f´´_{a}(\bruch{1}{\wurzel{2a}})= 2*a^2+0,5[/mm]
> [mm]2*a^2+0,5>0[/mm]
> und somit Tiefstelle von [mm]f_{a}[/mm]
>
> Berechnung des Funktionswertes der Tiefstelle:
>
> [mm]f_{a}(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=a^2*(\bruch{1}{\wurzel{2a}})^2-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})[/mm]
> [mm]=\bruch{a}{2}-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})[/mm]
>
> Und hier habe ich mein erstes Problem. Auf dem Lösungsbogen
> ist als Funktionswert [mm]\bruch{a}{2}(1+ln(2a))[/mm] angegeben.
>
> Respektive habe ich Probleme, den gesuchten Wert von a zu
> bestimmen!
>
> [mm]0=\bruch{a}{2}-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})[/mm]
> [mm]a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=\bruch{a}{2}/[/mm] /a
> (Verlustumformung??)
Theoretisch muß hier auch a=0 betrachtet werden.
Dieser Wert ist aber ausgeschlossen, da a>0 vorausgesetzt.
> [mm]ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2a}}=e^{0,5}[/mm] / ( = [mm])^2[/mm]
> (Gewinnumformung??)
> [mm]\bruch{1}{2a}=e[/mm] / *2
> [mm]\bruch{1}{a}=2e/Kehrwerte[/mm]
> [mm]a=\bruch{1}{2e}[/mm]
> Angegebener Lösungswert ist hier [mm]a=\bruch{1}{2*e},[/mm] was
> übereinstimmen würde, wenn meine Umformungen richtig sind.
>
> Kann ich den Ausdruck [mm]-ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})[/mm] zu
> +ln(2a) umschreiben?? Und wenn ja, warum??? Bin momentan
> ein wenig ratlos!
Nein.
Es ist
[mm]-\operatorname{ln}\left(\bruch{1}{\wurzel{2a}}\right)=-\operatorname{ln}\left( \ \left(2a\right)^{-\bruch{1}{2}} \ \right)[/mm]
Siehe dazu: Logarithmusgesetze
Hier wurde der von Dir berechnete Funktionswert etwas umgeformt:
[mm]\bruch{a}{2}-a*ln(\bruch{1}{\wurzel{2a}})=\bruch{a}{2}-a*\left(\operatorname{ln}\left(1\right)-\operatorname{ln}\left(\wurzel{2a}\right)\right)[/mm]
[mm]=\bruch{a}{2}-a*\left(0-\operatorname{ln}\left(\wurzel{2a}\right)\right)=\bruch{a}{2}+a*\operatorname{ln}\left(\wurzel{2a}\right)[/mm]
[mm]=\bruch{a}{2}+a*\bruch{1}{2}*\operatorname{ln}\left(2a\right)=\bruch{a}{2}*\left(1+\operatorname{ln}\left(2a\right)\right)[/mm]
Daher sind auch Deine Umformungen korrekt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Do 21.05.2009 | | Autor: | jaktens |
Tausend Dank , jetzt ist alles klar!!!!
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