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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 So 24.05.2009 | | Autor: | sky1988 |
| Aufgabe | | Sei [mm] U\leG [/mm] vom Index G:U=n. Zeige, dass G einen Normalteiler N (Normalteiler von G) besitzt mit n|G:N und G:N|n!. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir bis jetzt folgendes gedacht:
Sei N:=Ng(U)/U die Faktorgruppe des Normalisators von U nach U.
Dann gilt: N|U und N|G.
Da N U teilt gilt aN=U.
Ich möchte zeigen, dass n|G:N.
Dies gilt genau dann, wenn x|G|/|U|=|G|/|N| <=> x|N|=U. Mit x=a ist dann die Teilbarkeit gezeigt.
Mein Problem ist jetzt G:N|n! zu zeigen.
Dann müsste: y|G|/|N|=n!.
|G|/|N| kann man noch etwas umschreiben, da a|N|=|U|=|G|/n gilt, folgt |G|/|N|=na. Also möchte ich zeigen: na|n!.
Allerdings habe ich jetzt keine Ahnung, wo ich das Argument her nehmen soll, dass das glatt auf geht....
Weiß jemand weiter? Oder ist der Ansatz über die Restklassen schon schlecht gewählt?
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Hallo,
> Sei [mm]U\leG[/mm] vom Index G:U=n. Zeige, dass G einen Normalteiler
> N (Normalteiler von G) besitzt mit n|G:N und G:N|n!.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Weiß jemand weiter? Oder ist der Ansatz über die
> Restklassen schon schlecht gewählt?
Spontan fällt mir zu [mm]n![/mm] ein, daß das die Ordnung der symmetrischen Gruppe einer [mm]n[/mm]-elementigen Menge ist. Lt. Aufgabenstellung hat die Menge [mm]M\colon=\{aU \mid a \in G\}[/mm] n Elemente.
Wenn Du jetzt noch einen Homomorphismus von G in die Gruppe der Bijektionen auf M angibst, bist Du so gut wie fertig.
Z.B. ist [mm] f_g \colon M \to M, au \mapsto gaU[/mm] so eine Bijektion.
Sei also [mm]\varphi[/mm] ein Gruppenhomomorphismus von G in die Gruppe der Bijektionen auf M, und [mm]N[/mm] der Kern von [mm]\varphi[/mm]. [mm]N [/mm] ist Untergruppe von [mm]U[/mm]. Dann ist jede Nebenklasse nach U disjunkte Vereinigung von Nebenklassen von U nach N.
Gruß
zahlenspieler
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