Monotonieverhalten einer Schar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
f(x) = (1 - [mm] k)*x^{2.5} [/mm] + k*x ; k [mm] \not= [/mm] 0; 1
Ermittle das Monotonieverhalten und daraus Art und Lage der Extremwerte! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Meine Freundin hat ein Problem mit o.g. Aufgabe. Wir können leider nicht nachvollziehen, wie der Lehrer auf die Fälle kommt. Könnt ihr uns bitte schnell helfen? (Morgen ist leider schon Schulaufgabe...)
Folgende Berechnung haben wir angestellt:
Berechnung der ersten Ableitung:
f'(x) = 2x*(1 - k) + k
umgestellt nach x: x = [mm] \bruch{k}{2*(k - 1)}
[/mm]
I. k< 1 => 1 - k > 0 für x < [mm] \bruch{k}{2*(k - 1)} [/mm] => streng monoton fallend
für x > [mm] \bruch{k}{2*(k - 1)} [/mm] => streng monoton steigend
==> Tiefpunkt
II. k > 1 => 1 - k < 0 für x > [mm] \bruch{k}{2*(k - 1)} [/mm] => sms
für x < [mm] \bruch{k}{2*(k - 1)} [/mm] => smf
==> Hochpunkt
Vielen Dank für Eure Hilfe!!
Viele Grüße,
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben:
> f(x) = (1 - [mm]k)*x^{2.5}[/mm] + k*x ; k [mm]\not=[/mm] 0; 1
>
> Ermittle das Monotonieverhalten und daraus Art und Lage der
> Extremwerte!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo!
>
> Meine Freundin hat ein Problem mit o.g. Aufgabe. Wir können
> leider nicht nachvollziehen, wie der Lehrer auf die Fälle
> kommt. Könnt ihr uns bitte schnell helfen? (Morgen ist
> leider schon Schulaufgabe...)
>
> Folgende Berechnung haben wir angestellt:
>
> Berechnung der ersten Ableitung:
>
> f'(x) = 2x*(1 - k) + k
Hallo, die Ableitung ist leider falsch.
De Ableitung von [mm] x^{2.5} [/mm] ist [mm] 2,5*x^1,5.
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
> umgestellt nach x: x = [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
>
> I. k< 1 => 1 - k > 0 für x < [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm] => streng
> monoton fallend
> für x > [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
> => streng monoton steigend
>
> ==> Tiefpunkt
>
> II. k > 1 => 1 - k < 0 für x > [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm] => sms
> für x < [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
> => smf
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> ==> Hochpunkt
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>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!!
>
> Viele Grüße,
>
> Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mi 02.04.2008 | | Autor: | NikkiTobi |
Hallo!
Danke für Deine Antwort!
Mir ist leider ein Fehler unterlaufen!
Es muss heißen:
f(x) = (1 - [mm] k)*x^{2} [/mm] + k*x
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 02.04.2008 | | Autor: | chrisno |
> Gegeben:
> f(x) = (1 - [mm]k)*x^{2}[/mm] + k*x ; k [mm]\not=[/mm] 0; 1
>
> Ermittle das Monotonieverhalten und daraus Art und Lage der
> Extremwerte!
>
> Berechnung der ersten Ableitung:
>
> f'(x) = 2x*(1 - k) + k
> umgestellt nach x: x = [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
a) Da fehlt aber schon etwas. Umgestellt ist falsch. Wo ist denn f'(x) geblieben? ...
Annahme: Angesetzt wurde f'(x) = 0. Es werden also die Werte bestimmt, an denen ein Extremumn vorliegen kann.
Die hängen natürlich von k ab.
>
> I. k< 1 => 1 - k > 0
irgendwie muss man ja anfangen, soweit stimmt das auch. Nun langsam weiter:
Bei a) wurde der einzige Kandidat für ein Extremum gefunden. Nun muss untersucht weren:
- Steigt die Funktion vorher und fällt sie nachher => Maximum.
- Fälltt die Funktion vorher und steigt sie nachher => Minimum.
- Fällt sie vorher und nacher oder steigt sie vorher und nachher, oder fällt oder steigt sie vorher oder nachher nicht mehr => kein Extremum.
Es werden nun alle x vor dem Kandidaten betrachtet:
> für x < [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm] => streng
> monoton fallend
Bleiben wir mal im Bereich 0 < k < 1. Wir brauchen ja nur die Umgebung des Kandidaten zu untersuchen. Dann ist [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)} < 0[/mm] also negativ. x selbst ist also auch negativ.
Nun betrachte ich den ersten Term aus f'(x):
Da werden eine neagtive Zahl (x) und eine positive multipliziert, also kommt etwas negatives heraus.
Da x < [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm] ist x also von Betrag her größer als der Betrag von [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
und damit ist 2x * (1-k) negativ und vom Betrag her größer als der Betrag von [mm]2\bruch{k}{2*(k - 1)}*(1-k) = k[/mm]. Das heißt, es steht da etwas, das kleiner als -k ist und zu dem wird k addiert und damit ist das Ergebnis für f'(x) für diese Werte kleiner als 0 und somit die Funktion streng monoton fallend.
Das bekommt man vielleicht auch einfacher hin.
nun wird auf die Werte hinter dem Kandidaten geschaut.
> für x > [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
> => streng monoton steigend
und da dreht sich die Argunentation an den entsprechenden Stellen um.
>
> ==> Tiefpunkt
>
Die Situation, das k < 1 ist wurde abgehandelt. Nun also zu den anderen Fall:
Das läuft entsprechend, ich denke, das schaffst Du nun selbst.
> II. k > 1 => 1 - k < 0 für x > [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm] => sms
> für x < [mm]\bruch{k}{2*(k - 1)}[/mm]
> => smf
> ==> Hochpunkt
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