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Mon. Konvergenz, Linearitaet: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:34 Mi 06.04.2022
Autor: Jellal

Tag zusammen!

Kann man aus dem Satz der monotonen Konvergenz (MK) die Linearitaet des Lebesgue-Integrals fuer nicht-negative messbare Funktionen folgern, wenn man die Linearitaet bei endlichen Summen noch gar nicht gezeigt hat?

In meinem Skript scheint das naemlich impliziert zu sein.

Ich will zeigen:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \integral_{X}^{}{f_{i}(x) d\mu(x)} [/mm] = [mm] \integral_{X}^{}{\summe_{i=1}^{\infty} f_{i}(x) d\mu(x)} [/mm]

Angeblich folgt das direkt durch Anwenden von MK auf die Folge der Partialsummen, [mm] h_{k}(x)=\summe_{i=1}^{k}f_{i}(x). [/mm]
Es gilt [mm] \integral_{X}^{}{\limes_{k\rightarrow\infty} h_{k}(x) d\mu(x)} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{X}^{}{h_{k}(x) d\mu(x)}. [/mm]

Damit gilt aber erst mal
[mm] \integral_{X}^{}{\summe_{i=1}^{\infty} f_{i}(x) d\mu(x)} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{X}^{}{\summe_{i=1}^{k} f_{i}(x) d\mu(x)} [/mm]
Nur, wenn ich die Summe rechts jetzt rausziehen darf, bin ich fertig.

Dies wurde in meinem Skript zuvor aber nur fuer einfache Funktionen gezeigt. Man muesste also noch etwas arbeiten, oder?

MFG
Jellal

        
Bezug
Mon. Konvergenz, Linearitaet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:23 Mi 06.04.2022
Autor: leduart

Eine endliche Summe von "einfachen" Funktionen ist doch einfach eine "einfache" Funktion!
Gruß ledum

Bezug
                
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Mon. Konvergenz, Linearitaet: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Mi 06.04.2022
Autor: Jellal

Hi Leduart,

ja, aber was bringt mir das? Meine [mm] f_{i} [/mm] sind doch keine einfachen Funktionen, sondern beliebige nicht-negative.

Bezug
                        
Bezug
Mon. Konvergenz, Linearitaet: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Do 07.04.2022
Autor: donquijote

Hallo, ich sehe das wie du, dass die Argumentation oben die Linearitaet bei endlichen Summen voraussetzt. Die ist allerdings mit der üblichen Definition des Lebesgue-Intergrals über den Grenzwert einer monotonen Folge von einfachen Funktionen nicht allzu schwer zu zeigen:
Ist [mm] $f=\lim f_n$ [/mm] und [mm] $g=\lim g_n$ [/mm] mit monoton wachsenden Folgen [mm] $(f_n)$ [/mm] und [mm] $(g_n)$, [/mm] so folgt [mm] $f+g=\lim(f_n+g_n)$ [/mm] und damit
[mm] $\int(f+g)=\lim\int(f_n+g_n)=\lim(\int f_n+\int g_n)=\int f+\int [/mm] g$.

Bezug
                                
Bezug
Mon. Konvergenz, Linearitaet: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:46 Mo 11.04.2022
Autor: Jellal

Hallo Donquijote,

danke dir fuer deine Bestaetigung meiner Vermutung und eine schnelle Ergaenzung zu meinem Skript!

Jellal

Bezug
        
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Mon. Konvergenz, Linearitaet: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:05 So 10.04.2022
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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