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| Aufgabe | a) Berechnen Sie den Erwartungswert einer Poisson verteilten Zufallsvariable mit Parameter [mm] \rho [/mm] > 0.
b) Für n [mm] \in\IN \setminus \{0\}, \rho [/mm] > 0 sei [mm] X_n [/mm] binominal-verteilt mit Parametern n und [mm] \frac{\rho}{n}. [/mm] Ferner sei X Poisson-verteilt mit Parameter [mm] \rho. [/mm] Aus dem Poissonschen Grenzwertsatz wissen Sie,
[mm] P(X_n [/mm] = k) [mm] \to [/mm] P(X = k), k [mm] \in [/mm] N für [mm] n\to \infty. [/mm] (1)
Beweisen Sie, dass [mm] E[X_n] \to [/mm] E[X] für [mm] n\to \infty.
[/mm]
c) Modifizieren Sie die Verteilung der [mm] X_n [/mm] aus (b) so, dass zwar (1) gilt, aber [mm] E[X_n] [/mm] nicht gegen E[X] konvergiert |
a) Das habe ich geschafft: [mm] EX=\rho
[/mm]
b) Es gilt [mm] EX_n [/mm] =EX für alle n, also [mm] EX_n \to [/mm] EX. Also auch fertig.
c) Hier habe ich es mal mit der negativen Binomialvertielung versucht:
[mm] P(X_n=k)=\vektor{-n \\ k}p^n (p-1)^k
[/mm]
Ich konnte zeigen, dass [mm] E[X_n]=\frac{n}{p}=\frac{n^2}{\rho} [/mm] für alle n und somit konvergiert [mm] E[X_n] [/mm] nicht gegen E[X]
Aber ich kann leider nicht zeigen, dass [mm] P(X_n=k)\to [/mm] P(X=k)? Weiß jemand, wie das geht,oder wo ich das finde??
Vielleicht ist ja die gewälte Verteilung auch falsch... Hat vielleicht jemand eine besser geeignete Verteilung?
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Ich habs geschafft!
Aber da ich hier nicht meine eigene Antwort beantworten kann, werde ich nicht sagen, wie das geht.
Vielleicht sollten die Programmierer dieses Forums zulassen, dass man auch seine eigenen Fragen beantworten kann?? Wer wohl ne gute Idee!
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Ich habe geschafft (iii) und (i) <= geschafft!
Aber da ich hier nicht meine eigene Antwort beantworten kann, werde ich nicht sagen, wie das geht.
Vielleicht sollten die Programmierer dieses Forums zulassen, dass man auch seine eigenen Fragen beantworten kann?? Wer wohl ne gute Idee!
Dann würde ich jetzt sagen wie das geht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 24.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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