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Forum "Reelle Analysis" - Metrik
Metrik < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Metrik: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 So 01.12.2013
Autor: riju

Aufgabe
Die Funktion d:X x X -> R; erfülle für beliebige x,y,z ∈ X (X ungleich leere Menge) die Bedingungen

a) d(x,y) = 0 <-> x = y
b) d(x,y) ≤  d(x,z) + d(y,z)

Beweise, dass d eine Metrik ist.

Muss ich jetzt nur noch die Symmetrie (d(x,y)=d(y,x)) beweisen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 So 01.12.2013
Autor: leduart

Hallo
ja und [mm] d(x,y)\ge [/mm] 0
Gru0 leduart

Bezug
                
Bezug
Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mo 02.12.2013
Autor: riju

Also ich habe jetzt für die Symmetrie folgendes:

d(x,y) ≤ d(x,z)+d(y,z)
Setze z = x, dann folgt d(x,y) ≤ d(x,x)+d(y,x)
Aufgrund der Bedingung a) gilt d(x,x) = 0
Also gilt d(x,y) ≤ d(y,x)

Analog für z = y:
d(y,x) ≤ d(y,y)+d(x,y)
Aufgrund der Bedingung a) gilt d(y,y) = 0
Also gilt d(y,x) ≤ d(x,y)

Da d(x,y) ≤ d(y,x) und d(y,x) ≤ d(x,y) , gilt d(x,y) = d(y,x)


Ist das richtig?

Wie beweis ich d(x,y)≥0?

Bezug
                        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mo 02.12.2013
Autor: Richie1401

Hi,

betrachte noch einmal die Dreiecksungleichung.

Es ist [mm] 0=d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y)

Ersetze nun [mm] $y\to [/mm] x$. Nutze Symmetrieeigenschaft. Dann steht es schon da.

Bezug
                        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mo 02.12.2013
Autor: leduart

Hallo
Widerspruchsbeweis. nimm an es gibt ein d(xy)<0 dann folgt mit Dreiecksungleichung d(x,x)<......
Gruß leduart

Bezug
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