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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 Mo 24.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Es sei [mm] T_1:\IR^2\to\IR^3, \vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto\pmat{ x_1+2x_2 \\ 2x_1+x_2 \\ x_2}
[/mm]
und [mm] T_2:\IR^3\to\IR^2, \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\mapsto\pmat{ x_1 \\ 3x_1+2x_2+x_3}.
[/mm]
Bestimme die Matrixdarstellung von [mm] T_1\circ T_2 [/mm] bzgl. der kanonischen Basis. |
Hi,
ich habe hier etwas gerechnet, will mich aber doch vergewissern, ob es richtig ist; in erster Linie die Vorgehensweise. Ich habe mir folgendes gedacht:
1. Die kanonische Basis des [mm] \IR^3: \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
2. Hier das erste Fragezeichen zu [mm] T_1\circ T_2:
[/mm]
[mm] T_1\circ T_2: \IR^3\to\IR^3: \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\mapsto\pmat{ x_1+2*(3x_1+2x_2+x_3) \\ 2x_1+3x_1+2x_2+x_3 \\ 3x_1+2x_2+x_3}
[/mm]
Ist das so in Ordnung? Was ich gemacht habe, ist:
Die Zuordnungsvorschrift von [mm] T_2 [/mm] wie oben. Man erhält die Matrix: [mm] \pmat{ x_1 \\ 3x_1+2x_2+x_3}. [/mm] Verknüpft man das mit [mm] T_1, [/mm] habe ich mir gedacht, definiere ich [mm] x_1:=x_1 [/mm] und [mm] x_2:=3x_1+2x_2+x_3, [/mm] was folgendes ergibt:
[mm] \vektor{x_1 \\ 3x_1+2x_2+x_3}\mapsto\pmat{ x_1+2*(3x_1+2x_2+x_3) \\ 2x_1+3x_1+2x_2+x_3 \\ 3x_1+2x_2+x_3}
[/mm]
Insgesamt ergibt das dann
[mm] T_1\circ T_2: \IR^3\to\IR^3: \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\mapsto\pmat{ x_1+2*(3x_1+2x_2+x_3) \\ 2x_1+3x_1+2x_2+x_3 \\ 3x_1+2x_2+x_3}
[/mm]
oder?
3. [mm] M(T_1\circ T_2;\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] darstellen:
[mm] T(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{7 \\ 5 \\ 3}=7*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+5*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] T(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{4 \\ 2 \\ 2}=4*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] T(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}=2*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Insgesamt: [mm] M(T_1\circ T_2;\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\pmat{ 7 & 4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 }
[/mm]
Bin für jedes Feedback dankbar.
MfG barsch
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Hallo barsch,
> Es sei [mm]T_1:\IR^2\to\IR^3, \vektor{x_1 \\ x_2}\mapsto\pmat{ x_1+2x_2 \\ 2x_1+x_2 \\ x_2}[/mm]
>
> und [mm]T_2:\IR^3\to\IR^2, \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\mapsto\pmat{ x_1 \\ 3x_1+2x_2+x_3}.[/mm]
>
> Bestimme die Matrixdarstellung von [mm]T_1\circ T_2[/mm] bzgl. der
> kanonischen Basis.
> Hi,
>
> ich habe hier etwas gerechnet, will mich aber doch
> vergewissern, ob es richtig ist; in erster Linie die
> Vorgehensweise. Ich habe mir folgendes gedacht:
>
> 1. Die kanonische Basis des [mm]\IR^3: \vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> 2. Hier das erste Fragezeichen zu [mm]T_1\circ T_2:[/mm]
>
> [mm]T_1\circ T_2: \IR^3\to\IR^3: \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\mapsto\pmat{ x_1+2*(3x_1+2x_2+x_3) \\ 2x_1+3x_1+2x_2+x_3 \\ 3x_1+2x_2+x_3}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Ist das so in Ordnung? Was ich gemacht habe, ist:
Jo!!
>
> Die Zuordnungsvorschrift von [mm]T_2[/mm] wie oben. Man erhält die
> Matrix: [mm]\pmat{ x_1 \\ 3x_1+2x_2+x_3}.[/mm] Verknüpft man das mit
> [mm]T_1,[/mm] habe ich mir gedacht, definiere ich [mm]\red{x}:=x_1[/mm] und
> [mm]\red{y}:=3x_1+2x_2+x_3,[/mm] was folgendes ergibt:
Besser nicht Variablen doppelt in einem Ausdruck vergeben
> [mm]\vektor{x_1 \\ 3x_1+2x_2+x_3}\mapsto\pmat{ x_1+2*(3x_1+2x_2+x_3) \\ 2x_1+3x_1+2x_2+x_3 \\ 3x_1+2x_2+x_3}[/mm]
>
> Insgesamt ergibt das dann
>
> [mm]T_1\circ T_2: \IR^3\to\IR^3: \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}\mapsto\pmat{ x_1+2*(3x_1+2x_2+x_3) \\ 2x_1+3x_1+2x_2+x_3 \\ 3x_1+2x_2+x_3}[/mm]
>
> oder?
>
> 3. [mm]M(T_1\circ T_2;\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
> darstellen:
>
> [mm]T(\vektor{1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{7 \\ 5 \\ 3}=7*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+5*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+3*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]T(\vektor{0 \\ 1 \\ 0})=\vektor{4 \\ 2 \\ 2}=4*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> [mm]T(\vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}=2*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Insgesamt: [mm]M(T_1\circ T_2;\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1})=\pmat{ 7 & 4 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 }[/mm]
>
> Bin für jedes Feedback dankbar.
>
> MfG barsch
>
Hi, du hast alles richtig gerechnet ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Aber ich habe noch einen Tipp oder eine ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") , wie es vllt. noch schneller geht 
Bestimme durch "Hinsehen" die Abbildungsmatrizen [mm] $A_{T_1}$ [/mm] und [mm] $A_{T_2}$ [/mm] von [mm] $T_1$ [/mm] und [mm] $T_2$ [/mm] bzgl. der kanonischen Basen , dann hat die lineare Abbildung [mm] $T_1\circ T_2$ [/mm] die Darstellungsmatrix [mm] $A_{T_1}\cdot{}A_{T_2}$
[/mm]
Du erhältst schnell [mm] $A_{T_1}=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1\\0& 1}, A_{T_2}=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 3 & 2&1 }$
[/mm]
Dann ergibt [mm] $A_{T_1}\cdot{}A_{T_2}$ [/mm] genau die von dir errechnete Darstellungsmatrix von [mm] $T_1\circ T_2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Mo 24.09.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
genau das wollte ich grad auch schreiben :) naja ist wohl schon zu spät.
Schöne Rechnung für diese Uhrzeit..hihi
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Mo 24.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort. Es freut mich, dass es richtig ist.
> Du erhältst schnell [mm]A_{T_1}=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1\\0& 1}, A_{T_2}=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 3 & 2&1 }[/mm]
Der Tipp ist klasse - erspart jede Menge Zeit.
MfG barsch
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