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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 25.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Differentialgleichung:
[mm] y'+\sin^2(x+y)=0 [/mm] |
Also ich habe die Gleichung denke ich gelöst, allerdings komme ich bei der Probe nicht ganz zurecht:
[mm] y'+\sin^2(x+y)=0
[/mm]
[mm] \gdw y'=-\sin^2(x+y)
[/mm]
Substitution
u=x+y
[mm] \gdw [/mm] y=u-x
[mm] \gdw [/mm] y'=u'-1
[mm] u'-1=-\sin^2(u)
[/mm]
[mm] \gdw u'=-\sin^2(u)+1
[/mm]
[mm] \gdw u'=(\sin^2(u)-1)*(-1)
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] \rightarrow \bruch{du}{dx}=(\sin^2(u)-1)*(-1)
[/mm]
[mm] \rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{\sin^2(u)-1} du}=-\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
[mm] \rightarrow -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\cos^2(u)-1+1} du}=-\integral_{}^{}{1 dx}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] -tan(u)=-x+c
[mm] \rightarrow u=\arctan(x+c)+k*\pi
[/mm]
und damit [mm] y=\arctan(x+c)+k*\pi-x
[/mm]
So wenn ich y jetzt ableite müsste
[mm] y'=-\sin^2(x+y) [/mm] rauskommen...
[mm] y=\arctan(x+c)+k*\pi-x [/mm] abgeleitet gibt aber
[mm] y'=\bruch{1}{1+(x+c)^2}-1
[/mm]
Was habe ich denn jetzt falsch gemacht?
Danke und Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden
> Differentialgleichung:
> [mm]y'+\sin^2(x+y)=0[/mm]
> Also ich habe die Gleichung denke ich gelöst, allerdings
> komme ich bei der Probe nicht ganz zurecht:
>
> [mm]y'+\sin^2(x+y)=0[/mm]
> [mm]\gdw y'=-\sin^2(x+y)[/mm]
>
> Substitution
> u=x+y
> [mm]\gdw[/mm] y=u-x
> [mm]\gdw[/mm] y'=u'-1
>
> [mm]u'-1=-\sin^2(u)[/mm]
> [mm]\gdw u'=-\sin^2(u)+1[/mm]
> [mm]\gdw u'=(\sin^2(u)-1)*(-1)[/mm]
>
> Trennung der Variablen:
> [mm]\rightarrow \bruch{du}{dx}=(\sin^2(u)-1)*(-1)[/mm]
> [mm]\rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{\sin^2(u)-1} du}=-\integral_{}^{}{1 dx}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\cos^2(u)-1+1} du}=-\integral_{}^{}{1 dx}[/mm]
>
> [mm]\rightarrow[/mm] -tan(u)=-x+c
> [mm]\rightarrow u=\arctan(x+c)+k*\pi[/mm]
>
> und damit [mm]y=\arctan(x+c)+k*\pi-x[/mm]
>
> So wenn ich y jetzt ableite müsste
> [mm]y'=-\sin^2(x+y)[/mm] rauskommen...
>
> [mm]y=\arctan(x+c)+k*\pi-x[/mm] abgeleitet gibt aber
>
> [mm]y'=\bruch{1}{1+(x+c)^2}-1[/mm]
>
> Was habe ich denn jetzt falsch gemacht?
Die Lösung, die Du da herausbekommen hast, stimmt.
Du musst jetzt
[mm]\sin^{2}\left(x+y\right)=\sin^{2}\left(\ \arctan\left(x+c\right)+k*\pi\right)[/mm]
mit Hilfe der Additiontheoreme berechnen.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mo 25.05.2009 | | Autor: | tedd |
Ahhhh hm ................
[mm] y'=-\sin^2(x+y)
[/mm]
[mm] y'=\bruch{1}{1+(x+c)^2}-1=-\bruch{(x+c)^2}{1+(x+c)^2}
[/mm]
[mm] -\sin^2(x+y)=-\sin^2(arctan(x+c)+k*\pi)=-\left(\bruch{(x+c)}{\sqrt{1+(x+c)^2}}\right)^2=-\bruch{(x+c)^2}{1+(x+c)^2}
[/mm]
beide Seiten gleich, also ist die Probe erfolgreich....
Danke für die Hilfe!
Gruß,
tedd
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