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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:44 So 12.10.2008 | | Autor: | g0f |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Koordinatensystemgeometrie-Tangenten
hallo erstmal ;)
also die Aufgabe lautet " Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an den Kreis , die durch den Punkt P gehen.
a) x²+y²= 25 und der Punkt ist P(5|-5) "
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und wenn ich das ausrechne mit der Formel
x⋅ xb +y⋅ yb= r²
kommt bei mir raus x-5=0
und ich bin mir nicht sicher ob das ergebnis stimmt.
und wenn ich versuche den Berührpunkt auszurechnen kommen 2 x-Werte bei mir raus und das hieße ja dann das dies keine Tangente wäre .. also könnt ihr mir vielleicht h
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 12.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du weisst, dass eine Tangente eine Gerade der Form y=t(x)=mx+n ist.
Und du weisst, dass sie durch den gegeben Punkt P(5/-5) gehen soll, also t(5)=-5
Das heisst.
-5=5m+n
[mm] \Rightarrow [/mm] n=-5-5m
Also kannst du das n ersetzen, so dass t(x)=mx+(-5-5m)=5x-(5m+5)
Bleibt noch, das m zu bestimmen. Dazu nutze mal die Tangenteneigenschaft.
Eine Tangente ist diese Gerade genau dann, wenn es nur einen Schnittpunkt mit dem Kreis gibt, also setze diese Gerade mal in dien Kreis (für y) ein.
also hier: [mm] (x-0)^{2}+(5x-(5m+5)-0)²=25
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}+(25x²-50(5m+5)x+(5m+5)²)=25
[/mm]
[mm] \gdw 24x^{2}-50(5m+5)x+(5m+5)²-25=0
[/mm]
[mm] x^{2}-\bruch{50(5m+5)}{24}x+\bruch{(5m+5)²-25}{24}=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}\underbrace{-\bruch{25(5m+5)}{12}}_{p}x+\underbrace{\bruch{(5m+5)²-25}{24}}_{q}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=\bruch{50(5m+5)}{24}\pm\wurzel{\left(\bruch{50(5m+5)}{24}\right)^{2}-\bruch{(5m+5)²-25}{24}}
[/mm]
Da es aber nur einen Schnittpunkt geben soll, muss der Wurzelten verschwinden", also Null werden, so dass gelten muss:
[mm] \left(\bruch{50(5m+5)}{24}\right)^{2}-\bruch{(5m+5)²-25}{24}=0
[/mm]
Und daraus kannst du dann dein m der Tangente bestimmen.
Jetzt bist du erstmal wieder dran.
(Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet)
Marius
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> Du weisst, dass eine Tangente eine Gerade der Form
> y=t(x)=mx+n ist.
>
> Und du weisst, dass sie durch den gegeben Punkt P(5/-5)
> gehen soll, also t(5)=-5
Hallo Marius,
die Aussage
"dass eine Tangente eine Gerade der Form y=t(x)=mx+n ist"
ist nicht unbedingt zutreffend. Gerade im vorliegenden
Fall lässt sich die eine der beiden Tangenten nicht
in dieser Form darstellen !
Am einfachsten wäre hier die Lösung durch Anschauung
mittels einer einfachen Skizze.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 So 12.10.2008 | | Autor: | g0f |
also ganz ehrlich .. der Lösungsweg ist doch viel zu kompliziert ich bin jetzt in der 11 und das die Formel einer Tangente y=mx+n lautet weiß ich schon auch die Formeln für die Berührpunkte aber ich komm mit dem lösungsansatz nicht zurecht .
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O.K., ich glaub' ich weiss nun, was für eine Lösung dir
vorschwebt. Du weisst, dass man die Gleichung einer
Tangente an diesen Kreis schreiben kann als
[mm] x*x_B+y*y_B=r^2=5^2=25
[/mm]
Nun kennen wir einen Punkt P(5,-5), der auf der Tangente
(oder auf den möglichen Tangenten) liegen soll. Setzt man
dessen Koordinaten anstelle von x und y in die obige
Gleichung ein, so erhält man:
[mm] 5*x_B-5*y_B=25
[/mm]
durch 5 dividiert ergibt das:
[mm] x_B-y_B=5
[/mm]
Natürlich muss der Berührungspunkt B selber auch auf
dem Kreis liegen, also erfüllen seine Koordinaten auch die
Kreisgleichung:
[mm] x_B^2+y_B^2=25
[/mm]
Damit haben wir jetzt für die beiden Koordinaten [mm] x_B [/mm] und [mm] y_B [/mm]
das Gleichungssystem:
(1) [mm] x_B-y_B=5
[/mm]
(2) [mm] $x_B^2+y_B^2=25$
[/mm]
Dieses kannst du mit deinen Mitteln bestimmt auflösen.
Es gibt zwei mögliche Lösungspaare und damit auch
zwei mögliche Tangenten des Kreises, welche durch den
Punkt (5/-5) verlaufen.
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 So 12.10.2008 | | Autor: | g0f |
okee.. dann kann man (1) umformen
xb-yb=5 in yb= -5+xb
und das dann in (2) einsetzen xb²+ (-5+xb)²=25
und dann kommt dann 2xb²-10xb=0 raus
dann kann man die x-werte mit hilfe der p/q Formel oder der allgemeinen Lösungsformel ausrechnen
dann kommt bei mir dann x1=0 x2=5 raus.
so dann kann man die x werte in die Kreisgleichung x²+y²=25
wenn man x1 einsetzt erhält man dann den 1. Berührpunkt B1(0|5)
und wenn man x2 einsetzt erhält man den Berührpunkt B2(5|0)
da man ja weiss das die tangente nur einen Berührpunkt haben kann und durch den Punkt P (5|-5) hat kann ja nur B2 richtig sein..
aber ich frage mich trotzdem warum man trotzdem 2 Berührpunkte rauskriegt dann kann man sich ja nie sicher sein und normalerweise kommt ja auch nur ein berührpunkt raus.. das verwundert mich einwenig!
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Beide Lösungen sind richtig !
Es gibt zwei mögliche Tangenten.
Jede davon hat einen Berührpunkt.
Gibt nach Adam Ries 2*1=2 Berührpunkte !
Mach' dir doch bitte auch die Zeichnung, die
ich vorher schon angeregt habe.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 So 12.10.2008 | | Autor: | g0f |
ja kla hab ich doch ! und nur eine der Tangenten geht gleichzeitig durch den Punkt P und B2 ohne den Kreis 2mal zu schneiden daher ist nur eine Tangente die Lösung für diese Aufgabe.
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Die eine Tangente [mm] t_1 [/mm] (durch P(5/-5) und [mm] B_1(5/0)) [/mm] hat die Gleichung x=5
Die andere Tangente [mm] t_2 [/mm] (durch P(5/-5) und [mm] B_2(0/-5)) [/mm] hat die Gleichung y=-5
Ich wüsste nicht, was daran unklar sein kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 So 12.10.2008 | | Autor: | g0f |
ach stimmt :D okee danke jetzt hab ich das verstanden.. danke für die Hilfe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 So 12.10.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, wie schon gesagt, immer eine Skizze anfertigen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> okee.. dann kann man (1) umformen
> xb-yb=5 in yb= -5+xb
>
> und das dann in (2) einsetzen xb²+ (-5+xb)²=25
> und dann kommt dann 2xb²-10xb=0 raus
> dann kann man die x-werte mit hilfe der p/q Formel oder
> der allgemeinen Lösungsformel ausrechnen
>
> dann kommt bei mir dann x1=0 x2=5 raus.
>
> so dann kann man die x werte in die Kreisgleichung
> x²+y²=25
> wenn man x1 einsetzt erhält man dann den 1. Berührpunkt
> B1(0|5) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
der y-Wert müsste -5 (und nicht +5) sein !
du solltest eben [mm] x_1 [/mm] nicht in die quadratische
Gleichung einsetzen (und dann die Hälfte der
möglichen Lösungen für [mm] y_1 [/mm] vergessen),
sondern in die lineare Gleichung einsetzen !
>
> und wenn man x2 einsetzt erhält man den Berührpunkt
> B2(5|0)
>
>
> da man ja weiss das die tangente nur einen Berührpunkt
> haben kann und durch den Punkt P (5|-5) hat kann ja nur B2
> richtig sein..
>
>
> aber ich frage mich trotzdem warum man trotzdem 2
> Berührpunkte rauskriegt dann kann man sich ja nie sicher
> sein und normalerweise kommt ja auch nur ein berührpunkt
> raus.. das verwundert mich einwenig!
>
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