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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen
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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Di 14.09.2010
Autor: ATDT

Aufgabe
Für welche komplexen Zahlen z [mm] \in \IC [/mm] gilt [mm] z\overline{z} [/mm] = [mm] z^2 [/mm] + 2

Liebe Helfer,

ich brauche mal wieder eure Unterstützung.

Zunächst einmal ist z und [mm] \overline{z} [/mm] so definiert:
z = a + bi und
[mm] \overline{z} [/mm] = a - bi
Und nach den Regeln der komplexen Zahlen ist:
i*i = -1  

ich habe versucht das mal zu zerlegen und für die z's (a + bi) bzw. [mm] \overline{z}'s [/mm] (a - bi) einzufügen.

[mm] z^2 [/mm] = (a + bi) * (a + bi) = [mm] a^2 [/mm] + abi + abi - b
= [mm] a^2 [/mm] + 2abi - b
und [mm] z\overline{z} [/mm] = (a + bi) * (a -bi) = [mm] a^2 [/mm] - abi + abi + b
= [mm] a^2 [/mm] + b

[mm] z\overline{z} [/mm] = [mm] z^2 [/mm] + 2   [mm] |-z^2 [/mm]
[mm] -z^2 [/mm] + [mm] z\overline{z} [/mm] = 2
Also:
[mm] -(a^2 [/mm] + 2abi - b) + [mm] a^2 [/mm] + b = 2
= [mm] -a^2 [/mm] - 2abi + b + [mm] a^2 [/mm] = 2
-2abi + 2b = 2   |:2
-abi + b = 1

das ist aber noch nicht die Lösung oder?
Wie würdet Ihr das machen?

LG ATDT


        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Di 14.09.2010
Autor: Steffi21

Hallo, dir sind beim Auflösen der Klammern zwei Fehler unterlaufen

(1) bei [mm] z^{2} [/mm] steht als letzter Summand [mm] b^{2}*i^{2}=-b^{2} [/mm]

(2) bei [mm] z\overline{z} [/mm] steht als letzter Summand [mm] -b^{2}*i^{2}=b^{2} [/mm]

Steffi

Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Di 14.09.2010
Autor: fred97


> Für welche komplexen Zahlen z [mm]\in \IC[/mm] gilt [mm]z\overline{z}[/mm] =
> [mm]z^2[/mm] + 2
>  Liebe Helfer,
>  
> ich brauche mal wieder eure Unterstützung.
>  
> Zunächst einmal ist z und [mm]\overline{z}[/mm] so definiert:
> z = a + bi und
> [mm]\overline{z}[/mm] = a - bi
>  Und nach den Regeln der komplexen Zahlen ist:
>  i*i = -1  
>
> ich habe versucht das mal zu zerlegen und für die z's (a +
> bi) bzw. [mm]\overline{z}'s[/mm] (a - bi) einzufügen.
>  
> [mm]z^2[/mm] = (a + bi) * (a + bi) = [mm]a^2[/mm] + abi + abi - b
>  = [mm]a^2[/mm] + 2abi - b
>  und [mm]z\overline{z}[/mm] = (a + bi) * (a -bi) = [mm]a^2[/mm] - abi + abi +
> b
>  = [mm]a^2[/mm] + b
>  
> [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2   [mm]|-z^2[/mm]
>  [mm]-z^2[/mm] + [mm]z\overline{z}[/mm] = 2
>  Also:
>  [mm]-(a^2[/mm] + 2abi - b) + [mm]a^2[/mm] + b = 2
>  = [mm]-a^2[/mm] - 2abi + b + [mm]a^2[/mm] = 2
>  -2abi + 2b = 2   |:2
>  -abi + b = 1
>  
> das ist aber noch nicht die Lösung oder?
>  Wie würdet Ihr das machen?
>
> LG ATDT
>  

Steffi hat Dich schon auf Fehler aufmerksam gemacht. Kürzer gehts so:

Sei z=a+ib. Aus [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 folgt zunächst: [mm] z^2+2 \in \IR. [/mm]

Hieraus folgt: a=0 oder b=0.

Jetzt Du

FRED

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Bezug
Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Di 14.09.2010
Autor: ATDT


> Steffi hat Dich schon auf Fehler aufmerksam gemacht.

Danke Steffi!

> Kürzer gehts so:
>  
> Sei z=a+ib. Aus [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 folgt zunächst:
> [mm]z^2+2 \in \IR.[/mm]
>  
> Hieraus folgt: a=0 oder b=0.

Das ist mir nicht ganz klar. Wieso ist a=0 oder b=0?
Bitte erklär mir das damit ich es verstehe. Stehe auf dem Schlauch

ATDT

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Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Di 14.09.2010
Autor: Steffi21

Hallo, gehen wir deinen (längeren) Weg weiter, nach korrekter Klammerauflösung bekommst du

[mm] a^{2}+b^{2}=a^{2}+2abi-b^{2}+2 [/mm]

[mm] 2b^{2}-2=2abi [/mm]

[mm] b^{2}-1=abi [/mm]

auf der linken Seite deiner Gleichung steht nur der Realteil, zwangsläufig ist das Produkt a*b auf der rechten Seite der Gleichung gleich Null, jetzt hast du zwei Fälle zu untersuchen:

(1)
a=0 somit
[mm] b^{2}-1=0 [/mm]

(2)
b=0 somit
-1=0

Steffi





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Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Di 14.09.2010
Autor: fred97


> > Steffi hat Dich schon auf Fehler aufmerksam gemacht.
> Danke Steffi!
>  > Kürzer gehts so:

>  >  
> > Sei z=a+ib. Aus [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]z^2[/mm] + 2 folgt zunächst:
> > [mm]z^2+2 \in \IR.[/mm]
>  >  
> > Hieraus folgt: a=0 oder b=0.
>  Das ist mir nicht ganz klar. Wieso ist a=0 oder b=0?
> Bitte erklär mir das damit ich es verstehe. Stehe auf dem
> Schlauch


Es ist [mm] z*\overline{z}= |z|^2 \in \IR [/mm]

Aus [mm] z*\overline{z}= |z|^2 =z^2+2 [/mm] folgt dann: [mm] z^2 \in \IR. [/mm]

Mit z=a+ib ist [mm] $z^2=a^2+2iab-b^2 \in \IR \gdw [/mm] 2iab =0 [mm] \gdw [/mm] ab=0$

FRED

>  
> ATDT


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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Di 14.09.2010
Autor: ATDT

Klasse, vielen Daank für eure Hilfe!
In einer Klausur müsste man die Lösung doch anderst aufschreiben oder? ich dachte an eine Lösungsmenge.
Aber wie sieht die dann aus?

L = { O + ri | r [mm] \in \IR [/mm] } [mm] \cup [/mm] { r + 0i | r [mm] \in \IR [/mm] } ?
(Stammt von einer anderen Aufgabe)

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:38 Di 14.09.2010
Autor: fred97

[mm] $\{z \in \IC: z*\overline{z}=z^2+2 \}=\{i,-i\}$ [/mm]

FRED

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