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Integrationsgrenzen vertausche: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:20 Di 24.11.2009
Autor: babapapa

Aufgabe
Man vertausche die Integrationsreihenfolge beim Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy} [/mm]
und berechne den Wert

Hallo!

Ich habe hier im Forum bereits einen guten Hinweis gefunden:
https://matheraum.de/forum/Integrationsreihenfolge/t397931


Aus
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy} [/mm]
wird nun (edit: integrationsgrenzen müssen natürlich neu berechnet werden - ansatz gemäß dem obigen forenpost)
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dy} dx} [/mm]

Jedoch bin ich mir nicht sicher bei dem was ich hier getan habe.

Ich weiß:

(1) 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
(2) [mm] \bruch{y^2}{2} \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{3-y^2} [/mm]

aus (2) folgt
[mm] \bruch{y^2}{2} \le [/mm] y
und
y [mm] \le \sqrt{3-y^2} [/mm]

Umstellen nach y:

y [mm] \le \sqrt{2x} [/mm]
[mm] \sqrt{3-x^2} \le [/mm] y

es gilt nun also:
[mm] \sqrt{3-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \sqrt{2x} [/mm]

Bisher ist noch alles klar.

nun aber die anwendung der beliebigen funktionen [mm] \phi_1 [/mm] (x) und [mm] \phi_2(x) [/mm]

[mm] \phi_1(x) [/mm] = [mm] \sqrt{3-x^2} \le \phi_2(x) \sqrt{2x} [/mm]

[mm] \sqrt{2x} [/mm] - [mm] \sqrt{3-x^2} \ge [/mm] 0
=> x > 1

und genau an diesem Punkt stehe ich an :)

das Integrieren an sich sollte kein Problem mehr darstellen.

Vielen Dank für jeden Tipp.

lg
Babapapa

        
Bezug
Integrationsgrenzen vertausche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Di 24.11.2009
Autor: Merle23


> Man vertausche die Integrationsreihenfolge beim Integral
>  [mm]\integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy}[/mm]
>  
> und berechne den Wert

>  Hallo!
>  
> Ich habe hier im Forum bereits einen guten Hinweis
> gefunden:
>  https://matheraum.de/forum/Integrationsreihenfolge/t397931
>  
>
> Aus
>  [mm]\integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dx} dy}[/mm]
>  
> wird nun
>  [mm]\integral_{0}^{1}{ \integral_{\bruch{y^2}{2}}^{\sqrt{3-y^2}}{xy^2 dy} dx}[/mm]
>  

Nein, wird es nicht!

Versuche es nochmal.

> Jedoch bin ich mir nicht sicher bei dem was ich hier getan
> habe.
>  
> Ich weiß:
>  
> (1) 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
>  (2) [mm]\bruch{y^2}{2} \le[/mm] y [mm]\le \sqrt{3-y^2}[/mm]
>  
> aus (2) folgt
>  [mm]\bruch{y^2}{2} \le[/mm] y
> und
>  y [mm]\le \sqrt{3-y^2}[/mm]
>  
> Umstellen nach y:
>  
> y [mm]\le \sqrt{2x}[/mm]
>  [mm]\sqrt{3-x^2} \le[/mm] y
>  
> es gilt nun also:
>  [mm]\sqrt{3-x^2} \le[/mm] y [mm]\le \sqrt{2x}[/mm]
>  
> Bisher ist noch alles klar.
>  
> nun aber die anwendung der beliebigen funktionen [mm]\phi_1[/mm] (x)
> und [mm]\phi_2(x)[/mm]
>  
> [mm]\phi_1(x)[/mm] = [mm]\sqrt{3-x^2} \le \phi_2(x) \sqrt{2x}[/mm]
>  
> [mm]\sqrt{2x}[/mm] - [mm]\sqrt{3-x^2} \ge[/mm] 0
>  => x > 1

>  

Ich habe absolut keine Ahnung was du da oben machen willst.

> und genau an diesem Punkt stehe ich an :)
>  
> das Integrieren an sich sollte kein Problem mehr
> darstellen.
>  
> Vielen Dank für jeden Tipp.
>  
> lg
>  Babapapa

Bezug
                
Bezug
Integrationsgrenzen vertausche: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Di 24.11.2009
Autor: babapapa

Nun außer dass ich die neuen Integrationsgrenzen berechnen will, habe ich nichts vor. Aber irgendwie hättest du mir einen Tipp machen können was ich anders machen soll. Mit so einer Antwort kann ich nämlich, und wahrscheinlich auch der Rest, der nach eine solchen Lösung sucht, nichts anfangen. Danke.

Bezug
                        
Bezug
Integrationsgrenzen vertausche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Di 24.11.2009
Autor: schachuzipus

Edit: Hier stand groebr Schwachfug ...

[sorry]

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Integrationsgrenzen vertausche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Di 24.11.2009
Autor: MathePower

Hallo babapapa,

> Nun außer dass ich die neuen Integrationsgrenzen berechnen
> will, habe ich nichts vor. Aber irgendwie hättest du mir
> einen Tipp machen können was ich anders machen soll. Mit
> so einer Antwort kann ich nämlich, und wahrscheinlich auch
> der Rest, der nach eine solchen Lösung sucht, nichts
> anfangen. Danke.


Mache Dir am besten eine Skizze.


Gruss
MathePower

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