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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{1+4x²} dx} [/mm] |
Hi,
ich habe mal versucht die Aufgabe zu integrieren, aber ich finde meinen Fehler nicht :(
Folgendes habe ich gemacht:
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{1+(2x)²} dx}
[/mm]
2x=sinh(u)
u=arcsinh(2x)
u´= [mm] \bruch{2}{\wurzel{4x²+1}} [/mm] --> dx= [mm] \bruch{\wurzel{4x²+1}}{2} [/mm] du
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{1+4x²}\bruch{\wurzel{4x²+1}}{2} du }
[/mm]
= 0,5 + 2x² du = 0,5 + (sinh(u))² du --> (sinh(u))²= [mm] \bruch{1}{4} (e^{2x}+e^{-2x}+0,25)
[/mm]
Die neuen Grenzen:
u=arcsinh(0)=0
u=arcsinh(2)= 1,44
[mm] \integral_{0}^{1,44}{\bruch{1}{4} (e^{2u}+e^{-2u}) + 1,5 du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} (e^{2u}-e^{-2u}+1,5u)
[/mm]
Jetzt setze ich die Grenzen ein und bekomme als Ergebnis 6,66 und laut Taschenrechner müsste aber 1,48 rauskommen.
Wo hab ich was falsch gemacht?
Gruß
Meli
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In der letzten Zeile sind die 1,5u natürlich nicht mit in der Klammer :)
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Hallo Meli!
Es gilt natürlich: [mm] $2x^2 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] (2x)^2$ [/mm] .
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{1+4x²}\bruch{\wurzel{4x²+1}}{2} du }[/mm] = 0,5 + 2x² du = 0,5 + (sinh(u))² du --> (sinh(u))²
Daher muss es hier heißen:
$$... \ = \ [mm] \integral{0{,}5+\red{0{,}5}*\sinh^2(u) \ du}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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