Implizite Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Sa 30.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Die Gleichung [mm] z^3 [/mm] + z + xy = 1 hat für alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] genau eine reelle Lösung g(x,y).
Zeigen Sie, dass g: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung von g im Punkt (1,1). |
Ich denke, man könnte diese Aufgabe mit dem Existenzsatz über implizite Funktionen lösen.
Ich habe f folgendermassn definiert:
f(x,y,g(x,y)) = [mm] z^3 [/mm] + z + xy -1 , wobei g(x,y) := z ist.
Diese Funktion ist stetig und diffbar.
Des weiteren muss man verifizieren, dass [mm] \bruch{\partial f}{\partial g(x,y)} [/mm] für ein Punkt invertierbar ist.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial g(x,y) } [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] = [mm] 3z^2+1 \not=0. [/mm] Ist also überall invertierbar.
Der Existenzsatz über implizite Funktionen kann also angewendet werden, also ist g diffbar.
Sei X := (x,y)
g' = [mm] \bruch{\partial g}{\partial X} [/mm] = - [mm] \bruch{\partial f}{\partial X} [/mm] * [mm] (\bruch{\partial f}{\partial z})^{-1} [/mm] = -( x , y) * [mm] (3z^2+1)^{-1} [/mm]
für (x,y) = 1 folgt:
g' = [mm] (-\bruch{1}{3z^2+1} [/mm] , [mm] -\bruch{1}{3z^2+1} [/mm] )
Ist dies ein klein wenig richtig, oder bewege ich mich komplett auf dem Holzweg?
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Hallo jokerose,
> Die Gleichung [mm]z^3[/mm] + z + xy = 1 hat für alle (x,y) [mm]\in \IR^2[/mm]
> genau eine reelle Lösung g(x,y).
> Zeigen Sie, dass g: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] differenzierbar ist und
> berechnen Sie die Ableitung von g im Punkt (1,1).
> Ich denke, man könnte diese Aufgabe mit dem Existenzsatz
> über implizite Funktionen lösen.
> Ich habe f folgendermassn definiert:
>
> f(x,y,g(x,y)) = [mm]z^3[/mm] + z + xy -1 , wobei g(x,y) := z
> ist.
>
> Diese Funktion ist stetig und diffbar.
> Des weiteren muss man verifizieren, dass [mm]\bruch{\partial f}{\partial g(x,y)}[/mm]
> für ein Punkt invertierbar ist.
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial g(x,y) }[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial z}[/mm]
> = [mm]3z^2+1 \not=0.[/mm] Ist also überall invertierbar.
>
> Der Existenzsatz über implizite Funktionen kann also
> angewendet werden, also ist g diffbar.
>
> Sei X := (x,y)
> g' = [mm]\bruch{\partial g}{\partial X}[/mm] = - [mm]\bruch{\partial f}{\partial X}[/mm]
> * [mm](\bruch{\partial f}{\partial z})^{-1}[/mm] = -( x , y) *
> [mm](3z^2+1)^{-1}[/mm]
>
> für (x,y) = 1 folgt:
>
> g' = [mm](-\bruch{1}{3z^2+1}[/mm] , [mm]-\bruch{1}{3z^2+1}[/mm] )
>
> Ist dies ein klein wenig richtig, oder bewege ich mich
> komplett auf dem Holzweg?
Das ist fast ganz richtig, was Du da gemacht hast.
Nur die partiellen Ableitungen stimmen noch nicht ganz:
Implizites Differenzieren nach x ergibt:
[mm]\left(3*z^{2}+1\right)*z_{x}+y=0 \Rightarrow z_{x}=-\bruch{y}{3*z^{2}+1}[/mm]
Implizites Differenzieren nach y ergibt:
[mm]\left(3*z^{2}+1\right)*z_{y}+x=0 \Rightarrow z_{y}=-\bruch{x}{3*z^{2}+1}[/mm]
Somit lautet die Ableitung von g im Punkt [mm]\left(x,y\right)[/mm]:
[mm]\pmat{g_{x} \\ g_{y}}=\pmat{z_{x} \\ z_{y}}=-\bruch{1}{3z^{2}+1}\pmat{y \\ x}[/mm]
Der Wert von z im Punkt (1,1) kann aus der Gleichung leicht ermittelt werden, denn es ist nur
[mm]z^{3}+z=0[/mm]
zu lösen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 So 31.08.2008 | | Autor: | jokerose |
> >Das ist fast ganz richtig, was Du da gemacht hast.
>
> Nur die partiellen Ableitungen stimmen noch nicht ganz:
>
> Implizites Differenzieren nach x ergibt:
>
> [mm]\left(3*z^{2}+1\right)*z_{x}+y=0 \Rightarrow z_{x}=-\bruch{y}{3*z^{2}+1}[/mm]
>
> Implizites Differenzieren nach y ergibt:
>
> [mm]\left(3*z^{2}+1\right)*z_{y}+x=0 \Rightarrow z_{y}=-\bruch{x}{3*z^{2}+1}[/mm]
>
> Somit lautet die Ableitung von g im Punkt
> [mm]\left(x,y\right)[/mm]:
>
> [mm]\pmat{g_{x} \\ g_{y}}=\pmat{z_{x} \\ z_{y}}=-\bruch{1}{3z^{2}+1}\pmat{y \\ x}[/mm]
>
>
Ich habe aber doch auch genau dasselbe erhalten, nicht? Ich habe halt den Vektor horizontal und nich vertikal geschriben und x und y vertauscht, wobei letzteres ein Tippfehler von mir war...:
>> > Sei X := (x,y)
> > g' = [mm] \bruch{\partial g}{\partial X} [/mm] = - [mm] \bruch{\partial f}{\partial X}* (\bruch{\partial f}{\partial z})^{-1} [/mm] = -( x , y) [mm] *(3z^2+1)^{-1}
[/mm]
> >
Das ist doch wirklich dasselbe, oder?
Ich habe danach einfach falsch eingesetzt für (x,y) = (1,1)
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> > Somit lautet die Ableitung von g im Punkt
> > [mm]\left(x,y\right)[/mm]:
> >
> > [mm]\pmat{g_{x} \\ g_{y}}=\pmat{z_{x} \\ z_{y}}=-\bruch{1}{3z^{2}+1}\pmat{y \\ x}[/mm]
>
> >
> >
> Ich habe aber doch auch genau dasselbe erhalten, nicht? Ich
> habe halt den Vektor horizontal und nich vertikal
> geschriben und x und y vertauscht, wobei letzteres ein
> Tippfehler von mir war...:
Hallo,
naja, wenn bei Dir vertauschte Komponenten noch unter "dasselbe" laufen, war's dasselbe...
>
> >> > Sei X := (x,y)
> > > g' = [mm]\bruch{\partial g}{\partial X}[/mm] = -
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial X}* (\bruch{\partial f}{\partial z})^{-1}[/mm]
> = -( x , y) [mm]*(3z^2+1)^{-1}[/mm]
> > >
>
> Das ist doch wirklich dasselbe, oder?
>
> Ich habe danach einfach falsch eingesetzt für (x,y) = (1,1)
Du hast nur x und y eingesetzt und versäumt, Dir noch das passende z zu erobern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 31.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Ich bin mir nun einfach noch nicht ganz sicher, wie g' im Punkt (1,1) lautet.
g' = [mm] (-\bruch{y}{3z^2+1} [/mm] , [mm] -\bruch{x}{3z^2+1})
[/mm]
z ist ja gleich 0.
Ist g' im Punkt (1,1) nun also (-1 , -1) ?
Denn des weiteren muss man g auf Extrema untersuchen.
g' sollte deshalb gleich 0 gesetzt werden. So erhalte ich einen kritischen Punkt bei (0,0). Und diese ist dann folglich ein Sattelpunkt. Liege ich da richtig? Oder gibt es noch weitere Extrema?
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Hallo jokerose,
> Ich bin mir nun einfach noch nicht ganz sicher, wie g' im
> Punkt (1,1) lautet.
>
> g' = [mm](-\bruch{y}{3z^2+1}[/mm] , [mm]-\bruch{x}{3z^2+1})[/mm]
>
> z ist ja gleich 0.
> Ist g' im Punkt (1,1) nun also (-1 , -1) ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Denn des weiteren muss man g auf Extrema untersuchen.
>
> g' sollte deshalb gleich 0 gesetzt werden. So erhalte ich
> einen kritischen Punkt bei (0,0). Und diese ist dann
> folglich ein Sattelpunkt. Liege ich da richtig? Oder gibt
> es noch weitere Extrema?
(0,0) ist das einzigste Extrema.
Woraus schliesst Du das, daß das ein Sattelpunkt ist?
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 31.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> (0,0) ist das einzigste Extrema.
>
> Woraus schliesst Du das, daß das ein Sattelpunkt ist?
>
Die Hessematrix im Punkt (0,0) ist indefinit. (Eigenwerte -1 und 1). Also befindet sich an dieser Stelle ein Sattelpunkt.
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