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Hypothesentest: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:14 Di 27.01.2009
Autor: Nataliee

Aufgabe
Beim Messen einer Probe mit einer Waage wird der Wägefehler als zufällig angenommen. Die Varianz
des Wägefehlers sei mit [mm] \sigma^2_0= [/mm] 90 Einheiten angegeben. Gehen Sie davon aus, dass bei wiederholten Messungen die Wägefehler als Realisierungen von unabhängigen, zentriert normalverteilten Zufallsvariablen angesehen werden können. Von dem Gewicht μ einer Probe wurde bisher behauptet, dass es mindestens 150 Einheiten beträgt. Diese Behauptung soll nun widerlegt werden. Die Hypothese
[mm] H_0 [/mm] : μ >= 150 soll also gegen die Alternative H1 : μ < 150 zum Niveau [mm] \alpha [/mm] = 0, 1 getestet werden. Für die Entscheidungsfindung stehen n = 10 Messwerte [mm] x_1, [/mm] ..., x_10 zurVerfügung.

(a) Bestimmen Sie die Entscheidungsregel durch die Angabe eines Normalverteilungstests.
(b) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn [mm] x_1 [/mm] + ... + x_10 = 1470 ist?
c)...d)
(Anlage: Tabelle der t-Verteilung)

Hallo,
ich bin schon lange mit dieser Aufgabe beschäftigt erhalte aber kein sinnvolles Ergebnis. Ich muß wohl was falsch verstehen. Über die Normalapproximation erhalte ich ein Kritischen Wert von c=1538,96 und mit meiner üblichen Variante *** erhalte ich auch was falsches.

***
Verwerfungsbereich V:={x [mm] \in \IR^{10}[ [/mm] : [mm] \overline{x} [/mm] -150 >=c}
Der zugehörige Test lautet
[mm] \varphi(x)=1 [/mm] ,für x [mm] \in [/mm] V ; sonst 0.
[mm] \pi_\varphi(\mu)=P(\varphi(x)=1)= P(\overline{x}-150 [/mm] >= c)

So jetzt bestimme ich c so, dass [mm] \pi_\varphi(n)=\pi_\varphi(150)=\alpha=0.1 [/mm]
...
------------------------------
Verstehe ich was falsch?

Schönen Gruß

        
Bezug
Hypothesentest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:10 Do 29.01.2009
Autor: Nataliee

Bin noch Interessiert und würde mich über eine Idee sehr freuen.

Bezug
        
Bezug
Hypothesentest: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 Do 29.01.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Beim Messen einer Probe mit einer Waage wird der Wägefehler
> als zufällig angenommen. Die Varianz
>  des Wägefehlers sei mit [mm]\sigma^2_0=[/mm] 90 Einheiten
> angegeben. Gehen Sie davon aus, dass bei wiederholten
> Messungen die Wägefehler als Realisierungen von
> unabhängigen, zentriert normalverteilten Zufallsvariablen
> angesehen werden können. Von dem Gewicht μ einer Probe
> wurde bisher behauptet, dass es mindestens 150 Einheiten
> beträgt. Diese Behauptung soll nun widerlegt werden. Die
> Hypothese
> [mm]H_0[/mm] : μ >= 150 soll also gegen die Alternative H1 :
> μ < 150 zum Niveau [mm]\alpha[/mm] = 0, 1 getestet werden. Für
> die Entscheidungsfindung stehen n = 10 Messwerte [mm]x_1,[/mm] ...,
> x_10 zurVerfügung.
>  
> (a) Bestimmen Sie die Entscheidungsregel durch die Angabe
> eines Normalverteilungstests.
>  (b) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn [mm]x_1[/mm] + ... +
> x_10 = 1470 ist?
>  c)...d)
>  (Anlage: Tabelle der t-Verteilung)
>  Hallo,
>  ich bin schon lange mit dieser Aufgabe beschäftigt erhalte
> aber kein sinnvolles Ergebnis. Ich muß wohl was falsch
> verstehen. Über die Normalapproximation erhalte ich ein
> Kritischen Wert von c=1538,96 und mit meiner üblichen
> Variante *** erhalte ich auch was falsches.
>  
> ***
>  Verwerfungsbereich V:={x [mm] \in \IR^{10} [/mm] : [mm] \overline{x} [/mm] -150 >=c}
>  Der zugehörige Test lautet
>  [mm]\varphi(x)=1[/mm] ,für x [mm]\in[/mm] V ; sonst 0.
>  [mm]\pi_\varphi(\mu)=P(\varphi(x)=1)= P(\overline{x}-150>= c)[/mm]
>  
> So jetzt bestimme ich c so, dass
> [mm]\pi_\varphi(n)=\pi_\varphi(150)=\alpha=0.1[/mm]
>  ...
>  ------------------------------
>  Verstehe ich was falsch?
>  
> Schönen Gruß


Hallo Natalie,

Ich verstehe zwar die benützte Terminologie nicht
hundertprozentig, aber ich frage mich, ob du viel-
leicht einfach verkehrt rum rechnest.
Die Nullhypothese [mm] H_0 [/mm] ist:  μ >= 150
Der "Verwerfungsbereich" ist der Bereich in dem die
Nullhypothese abgelehnt werden sollte. Dies müsste
im vorliegenden Fall eine Menge der Art

      $\ [mm] V:=\{\,x \in \IR^{10} : \overline{x}\blue{\ \le\ } 150-c\,\}$ [/mm]

mit positivem c sein, und nicht

      $\ [mm] V:=\{\,x \in \IR^{10} : \overline{x} -150 \red{\ \ge\ }c\,\}$ [/mm]

Gruß    Al


Bezug
                
Bezug
Hypothesentest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 Do 29.01.2009
Autor: Nataliee

Hallo Al-Chwarizmi,
ja das stimmt habe das gar nicht bedacht.

Also mit $ \ [mm] V:=\{\,x \in \IR^{10} : \overline{x}\blue{\ \le\ } 150-c\,\} [/mm] $ :).
Somit folgt für den Normalverteilungstest.
[mm] \pi_\varphi(150) [/mm] soll [mm] =\alpha=0,1 [/mm] sein.
[mm] \Phi(\wurzel{n}*\bruch{c+150)-\mu}{\wurzel{\sigma^2}})=0,1 [/mm]
[mm] <=>\Phi(\wurzel{10}*\bruch{c}{\wurzel{90}})=0,1 [/mm]
[mm] <=>\Phi(\bruch{c}{3})=0,1 [/mm]

[mm] =>\bruch{c}{3}=Z_\alpha [/mm] <=> [mm] c=3Z_\alpha=3Z_{1-\alpha} [/mm]
=3(1,282), Anhand der Tabelle der Normalverteilung
=3,846

Das sieht ja bis hierhin Ok aus.

(b) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn $ [mm] x_1 [/mm] $ + ... + x_10 = 1470 ist?
Somit [mm] E(X)=\bruch{1470}{10}=147 [/mm]
Wegen [mm] x^{-} [/mm] -147 = 3 < 3,846 , das heißt die Hypothese wird nicht verworfen.
Wow wunder mich gerade selber anscheinend wird es so gemacht :).

c)Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Test die Hypothese [mm] H_0 [/mm] verworfen wird, wenn tatschächlich [mm] \mu [/mm] = 147,954 ist?

[mm] \pi_\varphi(147,954)=\Phi(\bruch{c+150-\mu}{3})=\Phi(\bruch{ 3,846+147,954-150)}{3} [/mm] )
[mm] =\Phi(\bruch{1,8}{3} )=\Phi(0,6)=0,725747 [/mm]

d)Lösen Sie die Teile a) und b) für den Fall, dass die Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] nicht bekannt ist, aber die empirische Varianz [mm] s^2_10 [/mm] = 90 beträgt.

Hier bin ich leider überfragt vielleicht hat ja jemand eine zündende Idee?

Bezug
                        
Bezug
Hypothesentest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 So 01.02.2009
Autor: lena17

Natalie, siehe Bsp. 14.13 in dem Skript.
Da hatten wir einen ähnlichen Fall. Ich denke, dass wir hier Gaußtest anwenden müssen:

[mm] T=\bruch{\wurzel{n}(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}-\mu_{0})}{\wurzel{S_{n}^2}} [/mm]

was meinst du?

Bezug
                                
Bezug
Hypothesentest: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:56 Mo 02.02.2009
Autor: Nataliee

DAs sieht gut aus :)

Bezug
        
Bezug
Hypothesentest: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Sa 31.01.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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