Hut^K Matrix diagonalisierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
A [mm] \in Mat_{n}(K). [/mm] Ich soll zeigen:
A diagonalisierbar [mm] \Rightarrow \wedge^{k}A [/mm] diagonalisierbar für k [mm] \in \IN
[/mm]
Und dann soll ich noch die Eigenwerte angeben.
Ich hab jetzt wie folgt angefangen:
Dass A diagonalisierbar ist bedeutet ja, dass A ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
1.Problem: Ich kann hier nicht schließen, dass es n verschiedene Eigenwerte gibt. Und dann kann man das nicht so weitermachen, wie ich es versucht hab.
Ich mach´s jetzt trotzdem mal:
Seien [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] Eigenvektoren zu den Eigenwerten
Diese sind linear unabhängig und bilden eine Basis von [mm] K^{n}.
[/mm]
Es gilt: [mm] Av_{1}= \lambda_{1}v_{1} [/mm] uws. [mm] Av_{n}= \lambda_{n}v_{n}
[/mm]
Außerdem:
[mm] \wedge^{k}A(v_{1} \wedge... \wedge v_{k})=A(v_{1}) \wedge... \wedge A(v_{k}) [/mm] = (jetzt kann man einsetzten) [mm] \lambda_{1}v_{1} \wedge... \wedge \lambda_{k}v_{k} [/mm] (und dann kann man ja noch die lambdas alle vorziehen)
2. Problem: Wie kann ich hier zeigen, dass [mm] \wedge^{k}A [/mm] diagonalisierbar ist? (Eigentlich müsste doch jetzt das Produkt der Lambdas ein Eigenwert sein, oder?)
Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke schon mal
Gruß
Annette
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hi Annette!
Du bist sicher auch bei Herrn Deitmar in der Vorlesung Lina 2.
Also ich denke [mm] \wedge^{k}A [/mm] diagonalisierbar bedeutet [mm] \wedge^{k}V [/mm] hat eine Basis aus Eigenvektoren.
In der Vorlesung haben wir aufgeschrieben was eine Basis von [mm] \wedge^{k}V [/mm] ist.
Du wählst also die Basis aus Eigenvektoren und schreibst dann die entsprechende Basis hin wie in Satz 23.4.
Die Eigenwerte sind dann eben die entsprechenden Produkte der Eigenwerte.
MFG Jay-G
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 So 01.05.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Also danke erst mal.
Ist mir allerdings noch nicht so ganz klar, muss ich mir wohl noch mal durch den Kopf gehen lasse.
Gruß
Annette
|
|
|
|
