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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma [/mm] : [0,1] [mm] \to \IC [/mm] von a nach b eine glatte Kurve
Sei [mm] \phi [/mm] (t) = [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{\gamma^{.}(\mu)}{\gamma (\mu) -z} d \mu} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] \bruch{d}{dt}[(\gamma [/mm] (t) [mm] -z)e^{-\phi (t)} \equiv [/mm] 0] [mm] \Rightarrow [/mm] exp [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] = [mm] \bruch{b-z}{a-z} [/mm] |
Hi!
Ich habe probiert das ganze zu lösen, indem ich beide Seiten nach t integriere, komm da aber immer nur zum Schluss, dass:
exp [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] = b-z
Das ist aber offensichtlich falsch.
Hat jemand ne Idee oder kann mir seine ersten zwei Schritte oder so mal posten, ich verraff bestimmt irgendwas beim "auflösen" des d/dt.
Danke
GREETz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] \bruch{d}{dt}[(\gamma [/mm] $ (t) $ [mm] -z)e^{-\phi (t)} \equiv [/mm] $ 0]
folgt: es gibt ein c [mm] \in \IC [/mm] mit
[mm] $\gamma(t) [/mm] -z = [mm] ce^{\phi(t)}$ [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1]
Wegen $ [mm] \phi(0) [/mm] = 0$ erhält man: $c = [mm] \gamma(0) [/mm] -z = a-z$
Wegen [mm] \phi(1) [/mm] = $ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\gamma^{'}(\mu)}{\gamma (\mu) -z} d \mu}= \integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] $ erhält man:
$b-z= [mm] (a-z)e^{\phi(1)} [/mm] = [mm] (a-z)exp(\integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] )$
FRED
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Hi!
Schonmal vielen Dank, mit den speziellen t Werten passt alles :)
Jetzt noch eine weiterführende Frage:
Es sei: [mm] n(\gamma,z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \Pi i} \integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon}{\varepsilon - z}} [/mm] die Windungszahl mit z [mm] \not\in |\gamma|.
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] eine geschlossene glatte Kurve.
Zu zeigen: [mm] n(\gamma,z) \in \IZ [/mm] und [mm] n(\gamma,z) [/mm] ist in jeder Komponente von [mm] \IC \backslash |\gamma| [/mm] konstant.
Wäre für jede Anregung dankbar.
GREETz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist [mm] \gamma [/mm] geschlossen, so ist a=b, und somit folgt aus
$ b-z= [mm] (a-z)exp(\integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] ) $
dass
[mm] $exp(\integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] ) = 1 $
ist. Somit ex. ein k [mm] \in \IZ [/mm] mit
[mm] $\integral_{\gamma} {\bruch{d \varepsilon }{\varepsilon -z}} [/mm] = 2k [mm] \pi [/mm] i$
Also
[mm] $n(\gamma,z) [/mm] = k$
Ist C eine Komponente von $ [mm] \IC \backslash |\gamma| [/mm] $, so ist die Funktion
$z [mm] \to n(\gamma,z)$ [/mm] auf C stetig,
da sie andererseits nur ganzzahlige Werte annimmt, ist sie konstant.
FRED
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