Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Equinox |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{1-cos(\bruch{x}{8})}{x^2} [/mm] |
Habe nochmal eine Frage bezüglich der Grenzwertberechnung, auch hier wieder ohne Differenzialrechnung. Hatte jetzt so angefangen:
[mm] \bruch{1-cos(\bruch{x}{8})}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{1-cos(\bruch{x}{8})}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{1-cos(\bruch{x}{8})}}{\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{sin(\bruch{x}{16})}{x}
[/mm]
kann man das verwenden, wollte eigentlich den GW: [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] nutzen
x geht gegen 0
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Equinox!
Nein, das kann man nicht so machen, da Deine Umforumungen falsch sind.
Erweitere den Bruch mal mit [mm] $\left[1 \ \red{+} \ \cos\left(\bruch{x}{8}\right)\right]$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Ok hab ich, komme dann auf: [mm] \bruch{1-cos^2(\bruch{x}{8})}{x^2+cos(\bruch{x}{8}} [/mm] = [mm] \bruch{sin^2(\bruch{x}{8})}{x^2+x^2cos(\bruch{x}{8})}
[/mm]
Sehe da aber keine Verbesserung :(
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Hallo Equinox,
> Ok hab ich, komme dann auf:
> [mm]\bruch{1-cos^2(\bruch{x}{8})}{x^2+cos(\bruch{x}{8}}[/mm] =
> [mm]\bruch{sin^2(\bruch{x}{8})}{x^2+x^2cos(\bruch{x}{8})}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sehe da aber keine Verbesserung :(
Ich so auch nicht 
Wenn du die Reihendarstellung vom Kosinus benutzen darfst, kommst du schnell mit einfacher Bruchrechnung zum Ziel ...
[mm] $\cos(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot{}\frac{z^{2k}}{(2k)!}$
[/mm]
Schreibe dir für [mm] $z=\frac{x}{8}$ [/mm] mal die ersten 2-3 Gleider auf, fasse zusammen, dann ein wenig Bruchrechnung ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Equinox |
Danke für den Tipp, aber ich denke das muss anders gehen. Haben bzw. soll bei GW nicht mit Summen arbeiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Do 13.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der ansatz war doch gut:
$ [mm] \bruch{sin^2(\bruch{x}{8})}{x^2+x^2cos(\bruch{x}{8})} [/mm] $
aber schreib ihn besser als [mm] \bruch{1}{8*(1+cos(\pi/8))}*(\bruch{sin(x/8}{x/8})^2
[/mm]
dann existiert jeder GW einzeln und du bist fertig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Do 13.08.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Hallo
> Der ansatz war doch gut:
> [mm]\bruch{sin^2(\bruch{x}{8})}{x^2+x^2cos(\bruch{x}{8})}[/mm]
> aber schreib ihn besser als
> [mm]\bruch{1}{8*(1+cos(\pi/8))}*(\bruch{sin(x/8}{x/8})^2[/mm]
aber ist hier dann im hinteren bruch nicht "0/0"?
> dann existiert jeder GW einzeln und du bist fertig.
> Gruss leduart
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Hallo fencheltee,
> > Hallo
> > Der ansatz war doch gut:
> > [mm]\bruch{sin^2(\bruch{x}{8})}{x^2+x^2cos(\bruch{x}{8})}[/mm]
> > aber schreib ihn besser als
> > [mm]\bruch{1}{8*(1+cos(\pi/8))}*(\bruch{sin(x/8}{x/8})^2[/mm]
> aber ist hier dann im hinteren bruch nicht "0/0"?
Bei direktem Grenzübergang ja, aber bekannt ist (und wird dann im weitern vorausgesetzt), dass der GW [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=1$ [/mm] ist ...
> > dann existiert jeder GW einzeln und du bist fertig.
> > Gruss leduart
>
Gruß
schachuzipus
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Hi leduart,
Mensch, das ist ne gute Idee, aber du hast nen kleinen Fehler:
> Hallo
> Der ansatz war doch gut:
> [mm]\bruch{sin^2(\bruch{x}{8})}{x^2+x^2cos(\bruch{x}{8})}[/mm]
> aber schreib ihn besser als
> [mm] $\bruch{1}{\red{64}*(1+cos(\red{x}/8))}*(\bruch{sin(x/8}{x/8})^2$
[/mm]
> dann existiert jeder GW einzeln und du bist fertig.
> Gruss leduart
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:29 Do 13.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo schachuzipus
Danke fuers aufpassen und verbessern.
gruss leduart
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
